jueves, 26 de enero de 2017

CITAS | Arthur Cayley

"Es difícil dar una idea de la vasta extensión de la Matemática moderna. La palabra "extensión" no es la exacta, pues con ella quiero expresar plenitud de bellos detalles; no una extensión completamente uniforme, como la de una estéril llanura, sino el panorama de un bello país- visto al principio a distancia, pero que debe ser recorrido y estudiado en todos los aspectos, desde las colinas y los valles hasta los ríos, rocas, bosques y flores. Pero como para todas las restantes cosas, también para la teoría matemática, la belleza puede ser percibida, pero no explicada".
Estas palabras pronunciadas en el discurso presidencial de Cayley, en 1883, ante la Asociación Británica para el Progreso de la Ciencia. Ver.

Retrato de Arthur Cayley realizado por el pintor William Henry
Longmaid
(1835–1919) en 1884

El matemático inglés Arthur Cayley (1821-1895) fue uno de los matemáticos teóricos más importantes de la Inglaterra del siglo XIX. Escribió 967 artículos, recogidos en los 13 volúmenes de la publicación The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley (obra de acceso libre en la página Internet Archive), y un libro sobre funciones elípticas, An Elementary Treatise on Elliptic functions (1876).

Trabajó en todas las ramas de la matemática pura, e incluso en cuestiones de matemática aplicada. Su nombre está asociado a muchos conceptos y resultados matemáticos, desde la superficie de Cayley, la métrica de Cayley-Klein, el grafo de Cayley o la construcción de Cayley Dickson, hasta el teorema de Cayley-Hamilton en álgebra lineal, el teorema de Cayley en teoría de grupos o la fórmula de Cayley de teoría de grafos.

Considerado como uno de los padres del álgebra lineal, introdujo el concepto de matriz y estudió sus diversas propiedades. Entre 1854 y 1878 escribió diversos artículos en los que desarrolló por vez primera la teoría de los invariantes.

Ver mas en

Arthur Cayley. En MacTutor.
Biografías: Arthur Cayley. En 100cia Química.
La Ratonera, el juego de Cayley. En Cultura Científica.

viernes, 13 de enero de 2017

Sócrates en Viena: Kurt Friedrich Gödel

El matemático David Hilbert fue sin duda un matemático genial que marcó con su creatividad las matemáticas de su época. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en matemática fue en el Primer Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, celebrado en París, donde propuso los veintitrés problemas más importantes que, hasta ese entonces, no tenían solución. Liderando la llamada escuela formalista que buscaba desarrollar la Matemática solo a partir de la coherencia de su propio discurso. sin buscar parentesco de sus objetos básicos con la realidad. Hilbert dijo:
Wir müssen wissen, wir werden wissen ('Tenemos que saber, y vamos a saber').
—David Hilbert, en el Congreso Internacional de Matemáticas en 1900.

Irónicamente, el día antes de que Hilbert pronunciase esta frase, Kurt Gödel presentaba su tesis, que contenía el famoso teorema de incompletitud: hay cosas que sabemos que son ciertas, pero que no podemos probar.



KURT GÖDEL

Kurt Gödel nace 1906 en Brün, Moravia, cuando esta ciudad aún forma parte del Imperio Austro-Húngaro, hijo de expatriados alemanes sin demasiada instrucción. Kurt fue un estudiante brillantísimo, inquisitivo, tanto que fue apodado 'der Herr Warum' ("el señor Porqué"), por su insaciable curiosidad, sensible, introvertido y bastante enclenque.

En 1924 abandonó su país natal para matricularse en la universidad de Viena, con la intención de hacer física, pero impresionado por las lecciones de Philipp Furtwängler y Hans Hahn se orientó hacia las matemáticas. Por aquel entonces ya había padecido unas fiebres reumáticas que habían dejado ciertas secuelas psicológicas que marcarían para siempre su carácter y que se traducían en una preocupación hipocondríaca por su salud y, especialmente, por todo lo que tuviera relación con la alimentación.


EL CÍRCULO DE VIENA

La Universidad de Viena, a pesar de estar sumida en una fuerte depresión económica, se había convertido en un centro cultural de referencia obligada. En 1926 fue invitado a un seminario con el filósofo Moritz Schlick, a un grupo cuyo nombre pronto sería famoso: el Círculo de Viena, que se inspiraba en los escritos de Ernst Mach, un campeón del racionalismo antimetafísico. Allí entró en contacto también con el filósofo Rudolf Carnap y con el matemático Karl Menger, quienes le ayudarían a familiarizarse con la lógica matemática y la filosofía. 

Por entonces el Círculo se había enfrascado en los escritos de Wittgenstein, cuya obsesión por el lenguaje que habla del lenguaje (metalenguaje) pudo inducir a Gödel a sondear cuestiones similares en matemáticas.

Por extraño que nos pueda parecer ahora, en el Círculo de Viena se investigaban los fenómenos parapsicológicos, en los que Gödel estaba profundamente interesado. Según manifestó a un amigo íntimo, no acababa de comprender cómo era posible que se hubieran investigado las partículas elementales de la física y no se hubiera hecho lo mismo con las de la psique.

EL TEOREMA DE INCOMPLETITUD

Gödel se doctoró en 1930 con un trabajo, dirigido por Hans Hahn, titulado La completitud de los axiomas del cálculo lógico de primer orden, un tema estrechamente relacionado con el programa formalista de Hilbert. A primeros de setiembre de ese mismo año asistió a un congreso sobre Epistemología de las Ciencias Exactas en Königsberg, al que acudieron Carnap, Heyting, J. von Neumann y Waismann. En él manifestó de manera clara sus dudas sobre la posibilidad de llevar a cabo el programa formalista de Hilbert y anunció algunos de sus resultados sobre la incompletitud de la aritmética. 

Poco tiempo después, en 1931, y con tan sólo 25 años, publicó su famoso Teorema de Incompletitud (técnicamente "teoremas de incompletitud", en plural, como en realidad habían dos teoremas por separado, aunque por lo general se habla de ellos juntos), que iba a socavar los firmes cimientos en los que se apoyaba la Matemática. A pesar de que el contenido del teorema versaba sobre temas muy especializados, obtuvo un eco internacional asombrosamente rápido y amplio, que le valió el cargo como profesor privatdozent en la Universidad de Viena.

Gödel’s Incompleteness Theorem

Los dos teoremas de Incompletitud — seguramente la peor pesadilla de un matemático — forman parte de una larga polémica relativa a los fundamentos de las matemáticas, levantando el espectro de un problema que puede llegar a ser verdad pero todavía indemostrable, algo que ni siquiera había sido considerado en mas de dos milenios en la historia de las matemáticas. 

Gödel efectivamente, propinó el golpe mortal a los esfuerzos de matemáticos como Bertrand Russell y David Hilbert, quienes trataron de encontrar un conjunto completo y coherente de axiomas para todas las matemáticas. Demostrando que los sistemas formales en general, no estaban en capacidad de probar su propia consistencia.



PRINCETON

En sus tiempos de estudiante, Gödel conoció en un local nocturno a una bailarina, seis años mayor que él, que se llamaba Adele Porkert, con la que mantuvo un largo noviazgo y con la que acabó casándose en setiembre de 1938, a pesar de la fuerte oposición de toda su familia. Hacía ya nueve años que Gödel había renunciado a su nacionalidad checa, para adquirir la Austríaca. Su situación económica era muy mala y estaba a punto de ser reclutado en las filas del ejército nazi. No sería exagerado afirmar que, hasta ese mismo momento, no se había enterado de nada de lo que estaba sucediendo a su alrededor en el terreno de la política. 

Anteriormente había realizado algunos viajes a Estados Unidos, concretamente para visitar el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, en donde hizo varios contactos que le sirvieron para obtener los visados necesarios y poder emigrar a los EE.UU. En enero de 1940 inició junto a su mujer un viaje, con tintes de aventura, que les llevó, por medio del transiberiano, hasta Yokohama y desde allí hasta San Francisco. En 1953 fue nombrado catedrático en Princeton y ya nunca más regresó a Europa. En 1946 obtuvo la ciudadanía americana, aunque a punto estuvo de no conseguirla. Cuando el juez que le tomó juramento le pidió su opinión sobre la constitución, Gödel le respondió, en una detallada disertación, todo lo que pensaba al respecto y al juez le quedó claro cuales eran las numerosas contradicciones sobre las que se sustentaba la constitución de su país.


En su estancia en Princeton entabló relación con Einstein y trabajó en la Teoría de la Relatividad, demostrando la posibilidad de viajes en los que se pudiera volver hacia atrás en el tiempo. Su último artículo apareció en 1958 y su última aparición en público, con motivo de un premio honorífico de la Universidad Rockefeller, en 1972.

EL FINAL DE GÖDEL 

Desafortunadamente, los teoremas de incompletitud también condujeron a una crisis personal para Gödel. A mediados de la década de 1930, sufrió una serie de crisis mentales y pasó un tiempo significativo en un sanatorio. Sin embargo, se lanzó al mismo problema que había destruido el bienestar mental de Georg Cantor durante el siglo anterior, la Hipótesis del Continuo

De hecho, dio un paso importante en la resolución de ese problema notoriamente difícil (demostrando que el axioma de elección no se puede demostrar con los otros axiomas de la teoría de conjuntos), sin la cual Paul Cohen probablemente nunca habría podido llegar a su solución definitiva. Como Cantor y otros después de él, Gödel también sufrió un deterioro gradual en su salud mental y física.

Kurt Gödel (1906-1978)
Es importante resaltar el papel que jugó su mujer Adel en este asunto, ya que sin su ayuda es muy probable que Gödel no hubiera podido hacer nada de lo que hizo. Ella le hacía todas las comidas y siempre las probaba antes de que él las comiera, pues vivía con el temor de morir envenenado.

Tras una larga hospitalización de ella, el más grande de los lógicos con la más lógica más absurda, para no morir envenenado se dejó morir de hambre el 14 de enero de 1978. De acuerdo con la autopsia, Kurt Gödel pesaba apenas 32 kilogramos cuando falleció en un hospital de Princeton.

Escribiendo este final recuérdese aquí también la muerte de otro matemático en las mismas condiciones. El alejandrino Eratóstenes también murió de inanición hace ya más de dos mil años.

Fuentes de origen y para profundizar:

El título de este artículo es en referencia al ensayo "Sócrates en Viena. Una biografía intelectual de Kurt Gödel", de Enrique Alonso (2007).

Kurt Gödel: la absurda vida de un lógico. Por Héctor Rago.
Gödel y los límites de la lógica. Por John W. Dawson.
20 TH CENTURY MATHEMATICS - GÖDEL.

Sobre los teoremas de incompletitud:

"Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel". En Gaussianos.
"Existencia de dios a priori y lógica de Gödel, explicación de demostración y fundamentos de la lógica modal". Por Eduardo Ruiz Duarte (en Beck's Blog).
La demostración de Gödel de la existencia de Dios. Por Francisco R. Villatoro.
Computers, Paradoxes and the Foundations of Mathematics, de Gregory Chaitin.



lunes, 2 de enero de 2017

¿Hay infinitos más grandes que otros?. Georg Cantor

Comenzaba el siglo XX (o terminaba el XIX, como prefiera), un alemán de origen ruso llamado Georg Cantor —San Petersburgo, 1845-Halle, 1918— se levantó un día en clase, es un decir, y tuvo las agallas y el cerebro, claro, de decirle al profesor en su mismísima cara, que Aristóteles estaba equivocado. Que hacía veinticinco siglos que la ciencia estaba equivocada. Porque él, Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, estaba en condiciones de probar que el infinito matemático no era una simple forma de hablar, ni un ente difuso y borroso que se alojaba en algún remoto lugar de la geometría del plano complejo, sino que era tan real como las matemáticas mismas y que él lo había tocado con sus propias manos, otro decir.

Cantor, ca. 1870
La manera que tuvo Cantor de ponerse en pie en clase, subirse encima del pupitre y cantar su verdad al inflexible maestro, fue escribir un trabajo demoledor, por su demoledora belleza y porque dinamitaba algunos de los sacrosantos pilares de la ciencia oficial de su tiempo: Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Una investigación matemático-filosófica sobre la teoría del infinito (1883), texto conocido como Grundlagen por su título original en alemán.

En Grundlagen suelta así su carga de profundidad:
Me he visto lógicamente obligado casi contra mi voluntad, por ir contra las tradiciones tenidas como válidas por mí en el curso de muchos años de esfuerzos y ensayos científicos, a considerar las magnitudes infinitas no sólo en la forma de ilimitadamente crecientes, y en la forma estrechamente ligada a ello de series infinitas convergentes, que se introdujo por primera vez en el siglo XVII, sino también a fijarlo mediante números en forma de infinito matemático perfecto, y por eso tampoco creo que a ello se puedan oponer razones válidas contra las que yo no pudiera combatir.
Cantor va literalmente más allá y demuestra que no hay un único infinito, sino múltiples infinitos, y hasta se atreve a medir la diferencia entre sus tamaños; por ejemplo, entre el cardinal del conjunto de los números enteros y el cardinal del conjunto de los puntos que forman la recta real, cuya comparación le llevará a establecer su famosa Hipótesis del Continuo.


Acorralado por la ortodoxia universitaria de su tiempo, liderada por su antiguo profesor, el temible Leopold Kronecker, por ciertos filósofos y representantes de la religión oficial —llegó a escribir una carta pidiendo su intercesión al papa León XIII, autor de una reformadora encíclica sobre la conciliación entre investigación científica y fe—, arrumbado en las aulas de una universidad de segunda fila, Georg Cantor acabó —o tal vez empezó—, sufriendo un síndrome maníaco-depresivo, encerrado durante meses en su cuarto, a solas consigo mismo y sus conjeturas, y tratando, entre otros asuntos, de demostrar que Francis Bacon era en realidad el autor de las obras de Shakespeare.

De hecho, su indagación en estas arenas movedizas, en un punto donde las fronteras entre ciencia, filosofía y teología se cruzan una y otra vez, le generó no pocos problemas de conciencia, por lo que era habitual que tanto en sus trabajos como en su correspondencia invocase a Dios para subrayar que con su obra no pretendía en ningún momento ser blasfemo ni ofender a los creyentes, sino simplemente profundizar en el conocimiento de los objetos matemáticos.

Georg Cantor se apagó en la Nervenklinik de la Universidad de Halle el 6 de enero de 1918, mientras Europa jugaba una vez más a la autodestrucción en esa Gran Guerra que anticipaba ya una Segunda Guerra Mundial y quién sabe qué otras hecatombes.


Pero antes de desvanecerse, Cantor nos había regalado su teoría de conjuntos, había forjado los números transfinitos y había prometido, muy al estilo de Fermat, una demostración de su Hipótesis del Continuo que ya jamás escribió. Difícilmente podría haberlo hecho porque, aunque Kurt Gödel, otro gigante incomprendido, dedujo en 1939 que la Hipótesis del Continuo era compatible con el sistema de axiomas que se utiliza habitualmente en matemáticas, Paul Cohen probó en 1963 que la hipótesis de Cantor es en realidad independiente de ese sistema de axiomas, llamado de Zermelo-Fraenkel. Pero hasta entonces —como sucedió con ese último teorema que Fermat no demostró porque dijo que no tenía espacio para detallar la prueba en los márgenes de la Aritmética de Diofanto que estaba anotando— todos los matemáticos soñaron con probar la Hipótesis del Continuo.

Porque, pase lo que pase, como dijo en 1925 nada menos que David Hilbert:



Artículos relacionados en este espacio


Georg Cantor, el señor de los conjuntos infinitos.
En el infinito, las cosas no son lo que parecen.
Los 23 problemas de David Hilbert.

Anexo (El Hotel Infinito de Hilbert) 

El Hotel Infinito de Hilbert es una construcción abstracta inventada por el matemático alemán David Hilbert. Esta paradoja explica, de manera simple e intuitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito (más exactamente con los cardinales transfinitos introducidos por el matemático Georg Cantor).

Finalmente les dejo este corto muy explicativo sobre las ideas expuestas. Pincha en la imagen para que puedas ver el video completo (en español).

Anexo (La hipótesis del Continuo):

Georg Cantor creía que el enunciado de la hipótesis del continuo, formulada en 1878, era cierto e intentó probarlo infructuosamente. El problema llegó a ser tan célebre que David Hilbert la incluyó en su célebre lista de 23 problemas que presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) del año 1900. Y no solamente la incluyó, sino que lo colocó en el primer lugar de su lista
Hipótesis del continuo
No existe ningún conjunto A tal que su cardinal |A| cumpla:
 (i. e. no hay ningún infinito entre los naturales y los reales)

Y fue precisamente en otro ICM en el que la hipótesis del continuo fue auténtica protagonista. El 10 de agosto de 1904, dentro del ICM que se estaba celebrando en la ciudad alemana de Heidelberg, el matemático ruso Julius König impartió, con Hilbert y Cantor presentes, una conferencia en la demostró que la hipótesis del continuo era falsa. Sin embargo, semanas después se descubría que la demostración contenía un error (lo descubrió Zermelo), por lo que la hipótesis del continuo continuaba sin demostración.

Georg Cantor había realizado grandes esfuerzos para demostrar este resultado, pero no llegó a conseguirlo. 

Todo el mundo pensaba que la hipótesis del continuo sería probada cuando se hubieran construido las técnicas necesaria, cuando el edificio matemático hubiera llegado lo suficientemente alto. Pero en 1963, un matemático de 23 años sorprendió a la comunidad matemática con un descubrimiento que derrumbaría el sueño de Cantor y de Hilbert. Paul Cohen, de la Universidad de Stanford, logró demostrar que la hipótesis del continuo es una de esa proposiciones indecibles, aquellas que Gödel había demostrado que existían pero que nadie se las había topado. Nunca podría demostrarse si la hipótesis del continuo es falsa o verdadera.


Otras fuentes para profundizar:

Hipótesis del Continuo. Wikipedia
Tipos de infinitos, numerabilidad, axioma de elección y paradojas. Beck's blog.
La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen. En Gaussianos.