miércoles, 15 de junio de 2016

Arte y Matemática: Teselados de Escher y Penrose.

Teselados


Un teselado es un recubrimiento del plano sin solapamientos, es decir, sin que unas piezas se superpongan sobre otras. En este sentido, las tejas de un tejado no serían un teselado, pero sí un mosaico romano. Los teselados pueden clasificarse según su periodicidad: si el teselado se puede desplazar en dos direcciones independientes del plano y hacer que coincida consigo mismo, se dirá que es periódico. Si no, se hablará de teselado no-periódico o aperiódico.


Para realizar un teselación se emplea una operación matemática llamada transformación isométrica. La teselación de Penrose, además de lo dicho anteriormente, se caracteriza porque no es periódica y está generada por un conjunto aperiódico de baldosas que reciben el nombre de Penrose por el físico matemático Roger Penrose.

La no periodicidad se demuestra en que las figuras no son superponibles: no se puede realizar la operación matemática de simetría translacional. Una curiosidad es que cualquier región finita aparece infinitas veces en la teselación. Dicho de manera informal, una copia desplazada nunca concordará con el original de forma exacta.

Cuando esto se aplica en tres dimensiones se obtiene un cuasicristal, que producirá la difracción de Bragg. Parece ser que Roger Penrose que presentó la teselación en 1974, reconoce que se inspiró en unos trabajos anteriores de Johannes Kepler.

Descubierta por el R. Penrose en la década de 1970

Por otro lado, tenemos al artista holandés, M. C. Escher, que por sugerencia de un amigo matemático aprendió los teselados hiperbólicos y se conoce que visitó la Alhambra de Granada, donde estuvo estudiando los patrones de los mosaicos. Lo cierto, es que como artista Escher no tenía ninguna pretensión ni contenido, sino que hacía lo que le gustaba, normalmente soluciones de problemas, juegos visuales y guiños al espectador. En cuanto a la disposición y el uso de la técnica que emplea a lo largo de su obra, se puede distinguir: la estructura del espacio (en la que incluye cuerpos matemáticos), la estructura de superficie (metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito), y la proyección del espacio tridimensional en el plano.


Se trata de un grabado en madera llamado Círculo límite III por el artista holandés M. C. Escher


Al mirar un cuadro de Escher, uno no necesariamente lo detecta pero está mirando algo bello de la matemática: simetría, patrones, objetos con “doble” sentido. Pero uno no necesita saber matemática para disfrutarlo. Es. Está ahí. Impacta.

Fuentes para investigar

Escher Granada. Exposicion en la Ciudad de Granada.

Muros, selvas, caminos y puertas

(Extraido de: Tito Eliatron Dixit)

Vi un alto muro y como tenía la premonición de un enigma, algo que podría estar escondido detrás del muro, trepé por él con alguna dificultad. Sin embargo, al otro lado caí en una selva y tuve que abrirme camino con gran esfuerzo hasta que llegué a la puerta abierta, la puerta abierta de las matemáticas. A partir de aquí, caminos muy transitados conducían en todas las direcciones y desde entonces he pasado tiempo allí. A veces pienso que ya he recorrido todo el área, que ya he pisado todos los caminos y admirado todas las vistas, y entonces descubro de repente un nuevo camino y experimento nuevas delicias.
Vía Boletín 204 (PDF) de la RSME.

Aparte de ser una cita del gran dibujante de la geometría, me ha encantado el símil que hace de la matemáticas con una especie de laberinto, en el que a cada paso que das, encuentras un nuevo camino inexplorado en el que adentrarte.



Fuente del video

"Los matemáticos entienden mejor a Escher". En Naukas.

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domingo, 12 de junio de 2016

El legendario matemático de Princeton fallece: John F. Nash.

El genio que desafió a Smith

Con su trabajo sobre la teoría de los juegos, cuestionó la teoría de la mano invisible de Adam Smith. En 1994 ganó el Nobel.
John Forbes Nash (1928-2015), matemático experto en la teoría de juegos.
El matemático estadounidense John Nash, célebre por su trabajo de la teoría económica de juegos y premio Nobel de Economía en 1994, falleció el sábado 23 de mayo del 2015 junto a su mujer en un accidente automovilístico en Nueva Jersey, Estados Unidos. El científico y su esposa, la salvadoreña Alicia Nash, retratados en la película «Una mente brillante (2002)», murieron cuando el taxi en el que viajaban se estrelló en una autopista al tratar de pasar a otro vehículo, según informó la policía.
Esa noche, los Nash regresaban de un viaje a Noruega, donde John había recibido el Premio Abel de la Academia noruega de Ciencias y Letras.
Nash había nacido el 13 de junio de 1928 en Virginia occidental. Su paso por el colegio primario fue traumático. Pese a que había aprendido a leer de muy pequeño y ya evidenciaba ser un niño prodigio, en la escuela se dispersaba fácilmente, tenía problemas de conducta, sus calificaciones eran bajas y no se integraba con el resto de sus compañeros. En 1945 ingresó en el Instituto Carnegie de Tecnología de Pittsburgh y, tras probar sin éxito la ingeniería y la química, se interesó por las matemáticas. A partir de ese momento, comenzó a desplegar todo su potencial intelectual. El doctorado lo realizó en Princeton, la meca de las matemáticas, donde trabajaban Albert Einstein, Robert Oppenheimmer y John von Neumann.
La tesis doctoral de Nash, de apenas 27 páginas escritas a los 21 años, contenía los elementos de una revolución en la teoría económica. Aplicó la teoría de los juegos de Von Neumann a situaciones que implicaban conflicto y ganancias, y concluyó que la “partida” concluía cuando cada jugador elegía su mejor respuesta a la estrategia de sus adversarios. Esa idea simple, “el equilibrio de Nash”, tuvo un fuerte impacto en la economía al cuestionar la teoría de la mano invisible de Adam Smith.
La teoría es demostrada en la película Una mente brillante, cuando Nash observa a cinco mujeres entrar al bar de la universidad. Una de ellas se destacaba del resto por su belleza y los compañeros de Nash se preparaban para disputársela. Entonces, Nash se da cuenta de lo que estaba por ocurrir y les dice que si todos iban detrás de la misma chica terminarían obstaculizándose entre ellos. Por lo tanto, la solución estratégica era ir por las amigas, ignorando a la más hermosa para que luego fuese ella quien eligiese y no ellos. La teoría de la mano invisible postula que la suma de los comportamientos egoístas de las personas redunda en un beneficio y bienestar general, pero lo que remarca Nash es que para que ello ocurra se requiere un mínimo de cooperación entre los agentes económicos. “El bienestar común no depende exclusivamente de la búsqueda por el bienestar individual, como dice Adam Smith en su teoría de la mano invisible, sino de la búsqueda simultánea por el bienestar individual y colectivo”, sostiene entonces y se va del bar diciéndole gracias a la más hermosa por su involuntaria ayuda.
El equilibrio de Nash: lección sencilla en el film "Una mente maravillosa" (2002)
Más que un juego
Antes de Nash, la teoría de juegos, que estudia las decisiones que toman individuos que interactúan y compiten entre sí, era incipiente. La disciplina sólo llegaba hasta la teoría de “suma cero”: situación en la que los individuos buscan el mismo objetivo, y toda la ganancia de uno implica la pérdida del otro—. Ese análisis no reflejaba del todo la realidad. Para situaciones diferentes a suma cero o juegos cooperativos, no había una solución.

En los años cincuenta, Nash agregó un componente clave a la teoría de juegos: la predicción —los individuos toman sus decisiones considerando que los demás optarán por su mejor elección— para llegar a una solución, concepto que hoy se denomina el "Equilibrio de Nash". Sería difícil entender una teoría de juegos moderna sin el equilibrio de Nash.

Después de Nash, se transformó el estudio sobre las tomas de decisiones. En el mundo económico, se incorporó la premisa de que los competidores adoptan sus mejores estrategias en busca de su propio beneficio.

Nash ha tenido influencia en el estudio de comportamientos en campos ajenos a la economía: la competencia entre partidos políticos y la conducta de los votantes, ciertos comportamientos de animales, entre otros, señalan los economistas. Aunque sin darse cuenta, todas las personas del mundo aplican el equilibrio de Nash en sus decisiones diarias.

Premio Nobel en Economía en 1994 y Premio Abel 2015

“El equilibrio de Nash”, tal como se conoció a su teorema, es lo que le permitió obtener en 1994 el Premio Nobel de Economía y en marzo del 2015 el Premio Abel de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, considerado el Nobel de las matemáticas. Antes del reconocimiento mundial, tuvo que enfrentar una severa esquizofrenia paranoica que había sido diagnosticada como irreversible, pero de la que pudo salir luego de treinta años de sufrimiento. Con su recuperación también terminó asombrando.

John Nash. Conferencia de prensa, al término de la ceremonia (de los premio Nobel) en 1994. Sentado,
a su costado, el profesor de matemáticas en Princeton Harold Kuhn, un amigo de toda la vida de Nash.
(Foto: Denise Applewhite, Oficina de Comunicaciones). 

Fuentes relacionadas en este Blog


Otros: Rosrell Crowel sobre la muerte de John Nash

El reconocido actor neozelandés Russell Crowe, ha manifestado en la red social Twitter su estupefacción al conocer la noticia: "Aturdido... Mi corazón está con John, Alicia y familia. Una increíble colaboración. Mentes maravillosas, corazones maravillosos".

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John Nash, el Nobel que volvió de la esquizofrenia

Escribía sin parar ecuaciones interminables de problemas irresolubles en pizarras de aulas sin alumnos. Buscaba en infinitas series de números las claves secretas que le permitieran desactivar la conspiración mundial que creía haber descubierto.

Pero todo estaba solo en su mente. En una mente que fue maravillosa cuando en su segundo año en la Universidad de Princeton, con 21 años, dio a luz una breve pero brillante tesis doctoral en la que ampliaba y mejoraba los postulados de una teoría elaborada por Von Neumann y Morgenstein, la «Teoría de juegos». Después, su luz se apagó.

El tema de su tesis doctoral de 1950, marcó el camino del Nobel en Economía.

John Nash, galardonado con el premio Nobel de Economía de 1994, no ha llevado la típica vida de sabio. Cuando era uno de los más prometedores matemáticos, a finales de los años cincuenta, la esquizofrenia hizo presa en él, y sólo hace 10 años los síntomas empezaron a remitir. Su esposa Alicia, familiares y amigos tejieron a su alrededor una red de apoyo que le evitó correr la suerte de tantos pacientes: verse postrado en una cama de hospital, convertirse en un vagabundo, desplomarse en el suicidio. Su teoría de los juegos ha hecho historia. El premio fue un milagro. No era sólo que Nash, uno de los genios matemáticos de la época de posguerra, obtuviera por fin el reconocimiento que se merecía. El verdadero milagro era que Nash, de 66 años -alto, de pelo gris, con ojos tristes y la voz suave y áspera de alguien que no habla mucho-, estuviera vivo y lo bastante bien como para recibir el premio. Y es que John Nash se vio afectado por una esquizofrenia paranoica más de tres décadas antes.

La terrible enfermedad de Nash era un secreto a voces entre los matemáticos y economistas. Tan pronto como la revista Fortune lo eligió, en julio de 1958, como la brillante y joven estrella estadounidense de las "nuevas matemáticas", la enfermedad destrozó la vida personal y profesional de Nash.

No había publicado ningún documento científico desde 1958. No había ocupado ningún puesto académico desde 1959. Mucha gente había oído, y no era cierto, que le habían practicado una lobotomía. Otros simplemente daban por supuesto que había muerto.

Lucha contra la esquizofrenia paranoica.


No murió, pero su vida, antes tan llena de viveza y esperanza, se volvió un infierno. Hubo repetidos internamientos en hospitales psiquiátricos. Tratamientos fallidos. Delirios espantosos. Un periodo de vagabundeo por Europa. Finalmente, regresó a Princeton, donde una vez fuera la estrella en ascenso. Allí, se convirtió en el Fantasma de Fine Hall, una figura muda que garabateaba extrañas ecuaciones en pizarras de la Facultad de Matemáticas y buscaba ansiosamente mensajes secretos en los números.

Años más tarde, los terribles fuegos que alimentaban los delirios y distorsionaban su pensamiento empezaron a desaparecer. Ocurrió de forma muy gradual. Pero, ya en la cincuentena, Nash empezó a salir de su aislamiento. Volvió a hablar con otros matemáticos. Empezó a trabajar en problemas que tenían sentido.

En el caso de Nash, la tragedia tiene la dimensión añadida de su temprano genio, y de la red de familiares y amigos que valoraban ese genio y que envolvieron protectoramente a Nash proporcionándole un refugio seguro mientras estuvo enfermo. Estaban los antiguos colegas que intentaron hacerle trabajar. Estaba su hermana, que tuvo que tomar decisiones desgarradoras acerca de su tratamiento. La esposa leal, que permaneció a su lado cuando ya no era su esposa. El economista que alegó ante el comité del Nobel que una enfermedad mental no debía ser un impedimento para el premio. La propia (Universidad de) Princeton. Todos ellos, se aseguraron de que Nash no acabara siendo, como les ocurre a muchas víctimas de la esquizofrenia, un paciente de algún hospital estatal, un vagabundo sin casa o un suicida.

Nash nunca ha hablado de su enfermedad públicamente, excepto en la conferencia de prensa en la que anunció su premio, durante la cual se refirió indirectamente al hecho de que había tomado algunas decisiones irracionales en el pasado. Se negó a ser entrevistado para este reportaje: "La gente sabe lo que sabe" dijo.

Nash realizó la tesis premiada con el Nobel en su segundo año en Princeton. La teoría de juegos fue una invención de Von Neumann y de un economista de Princeton llamado Oskar Morgenstern. Nash escogió para su tesis un problema que se le había escapado a Von Neumann. En pocas palabras, Von Neumann no tenía más que una buena teoría de las rivalidades puras en las que la ganancia de un bando era la pérdida del otro. Nash se centró en las rivalidades en que también era posible la ganancia mutua.

Nash convirtió la teoría de juegos, una idea engañosa, en un poderoso instrumento que los economistas podrían usar para analizar todo, desde la comipetencia financiera hasta las negociaciones.

En los meses precedentes a su hospitalización, Nash se convirtió en otra persona. Saltaba, de un tema a otro. Algunas de sus clases ya no tenían sentido. En un momento dado, huyó a Roanoke abandonando sus clases. Escribió extrañas cartas a varios personajes públicos.

Fue internado durante meses en el prestigioso hospital McLean, pero la enfermedad no se detuvo. "La esquizofrenia es una enfermedad cerebral", dice Fuller Torrey, especialista. Pero los neurolépticos, medicamentos que se utilizaron para tratar algunos -aunque ni mucho menos todos- de los síntomas en las décadas siguientes, acababan de aparecer en escena. Las causas de la enfermedad siguen siendo desconocidas.

Su vida inspiró el best seller "Una mente maravillosa", escrito por la perioista Sylvia Nasar.

Alicia de Nash


En 1963, Alicia, su mujer, se divorció de él, pero dejó que siguiera viviendo en su casa. Nash fue hospitalizado al menos en otras tres ocasiones. Alicia, que no volvió a casarse, mantuvo a su ex marido y a su hijo trabajando como programadora de ordenadores, con alguna ayuda financiera de familiares, amigos y colegas. "Era una vida de escasez", dice una amiga. Nash se convirtió en un ser triste y fantasmal. Alicia creía firmemente que Nash debía vivir en su casa y permanecer dentro de la comunidad matemática de Princeton aunque no rigiera bien.

Algunos antiguos colegas de Princeton y el MIT intentaron ayudar ofreciéndole trabajos en proyectos de investigación, aunque con mucha frecuencia Nash no estaba en condiciones de aceptar la ayuda. Shapley, de UCLA, le consiguió un premio de matemáticas en metálico. Hubo otras iniciativas, como dar a Nash acceso a los ordenadores de la universidad o acordarse de invitarle a los seminarios cuando viejos amigos volvían al campus.

Entonces sucedió lo que Kuhn llama "una remisión milagrosa". Y como sucede por causas desconocidas en algunos esquizofrénicos, no se debió, según Alicia y su amiga Martha, a ninguna droga ni tratamiento. "Todo es cuestión de llevar una vida tranquila", dice Alicia.

La historia de Nash es una prueba no sólo de supervivencia, sino de la lealtad y la admiración que inspiraba en los demás.

Principales reconocimientos (premios)

En 1994 recibió el premio Nobel de Economía y su vida fue plasmada primero en un libro por la periodista Sylvia Nasar y después en una fantástica película -«Una mente maravillosa»- dirigida por Ron Howard y protagonizada por Russell Crowe.

Ha recibido el título honorario de Doctor en Ciencia y Tecnología de la Universidad Carnegie Mellon (1999), -ver la imagen inicial de este post.

El pasado marzo fue galardonado con el [*] Premio Abel 2015, junto a Louis Nirenberg, por sus contribuciones al campo de las ecuaciones diferenciales parciales y sus aplicaciones a análisis geométrico.

La noche del 23 de mayo del 2015, a la edad de 86 años, moría en un accidente de tráfico en Nueva Jersey cuando el taxi en el que viajaba se estrellaba contra el guardarraíl. Su esposa Alicia, que viajaba con él, una vez más se negó a abandonarle. Los dos fallecieron, al salir despedidos del vehículo. Esa noche, los Nash regresaban de un viaje a Noruega, donde John había recibido el Premio Abel de la Academia noruega de Ciencias y Letras.

John Nash  (86 años). Foto tomada durante una recepción especial en honor a Nash luego de ganar el Premio Abel 2015. A la derecha, Yakov Sinaí, profesor de matemáticas de Princeton (Abel 2014).

[*] El Premio Abel

El Premio Abel es un reconocimiento internacional a toda una carrera científica en el campo de las matemáticas, otorgado por la Academia de Ciencias y Letras, en base a las recomendaciones Del Comité Abel. Desde 2003 el premio se concede anualmente, y está dotado con unos 800.000 euros.


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Teoría de Juegos: Equilibrio de Nash

La Teoría de Juegos es una rama de la matemática o, mejor dicho, es el lenguaje matemático que trata de describir y modelar cómo interactúa la gente.
Uno de los exponentes más importantes en este campo es el matemático John Nash (inmortalizado en la película Una mente brillante). Nash consiguió el Premio Nobel en Economía en 1994 justamente por sus aportes a la Teoría de Juegos.
Quiero mostrar aquí algo más relacionado con el tema.
Para empezar, sígame con el siguiente razonamiento: por un lado, existen los juegos llamados de suma cero. Por ejemplo, si usted juega al truco o al poker con otras personas y hay dinero involucrado, todo lo que ganó uno es el resultado de lo que otros perdieron. La suma del dinero involucrado da cero, si uno cuenta como positivo lo que alguien gana y negativo lo que alguien pierde. Es decir: nadie puede ganar un dinero que otro no perdió (y viceversa).
El aporte de Nash fue considerar lo que llamó los juegos que “no suman cero”. Cuando aún no había cumplido 30 años, desarrolló el concepto de lo que hoy se conoce con el nombre de “equilibrio de Nash”. Esta es una definición muy interesante sobre lo que significa alcanzar una situación en la que todos los participantes se van a sentir contentos.
Puede que alguno de ellos hubiera podido obtener algo “mejor” si actuaba en forma individual, pero colectivamente es la mejor situación posible (para el grupo). Es decir, todos los participantes advierten que es mejor establecer una “estrategia para todos” que una individual.
Esto aparece muchas veces en el “mundo real”. Cuando se trata de un juego uno contra uno, el “equilibrio de Nash” se alcanza cuando nadie tiene nada para reclamar, en el sentido de que uno no variaría lo que hizo o está por hacer aun sabiendo lo que va a hacer el otro.
En un juego de cartas, sería como decidir qué carta uno va a jugar, aunque pudiera ver las cartas del otro.
Por ejemplo: supongamos que veinte personas van a comprar durante un cierto mes del año un determinado modelo de auto. Quizás, cada uno de ellos pueda negociar un precio que le convenga personalmente. Pero si se pusieran de acuerdo en entrar a la concesionaria todos juntos y llevaran una oferta para comprar veinte autos, es esperable que obtengan un mejor precio.
Es casi una “teoría del compromiso”, algo muy sencillo, pero nadie lo había podido sistematizar hasta que lo hizo Nash. El no estaba tan interesado en cómo alcanzar un equilibrio en el sentido de que todo el mundo va a estar contento con su posición, pero sí sobre cómo deberían ser las propiedades que un equilibrio debería tener.
Una idea aproximada de lo que hizo Nash es la siguiente: si uno recorriera a todos los integrantes de una mesa (de negociaciones, por ejemplo) y les preguntara “si todos los otros jugadores se mantuvieran en la posición que están ahora, ¿usted cambiaría lo que está haciendo?”. Esto es como preguntar si cada uno mantendría su posición si supiera que todo el resto se mantendría quieto. Esta es la lógica que sirve para alcanzar el “equilibrio de Nash”.
Mucho tiempo después de que Nash escribiera su teoría del equilibrio, el mundo comenzó a usarla. De hecho, el mejor exponente fue cómo se empezó a tratar el tema de las “licitaciones” o “remates” y presentó un ejemplo maravilloso: las reglas que gobiernan un remate son las mismas que gobiernan un “juego”. Entonces, los “apostadores” son los competidores en un juego, las estrategias son “su plan de acción”, la forma en la que va a apostar y la ganancia es quién obtiene lo que se vendía y cuánto se paga por lo que está en juego.
Para los que trabajan en Teoría de Juegos, este tipo de “licitaciones” o “remates” les permiten predecir lo que los jugadores van a hacer, aprovechando lo que saben del equilibrio de Nash y transforman reglas, que podrían ser muy complicadas, en algo “analizable”. No sólo eso: en este tipo de operaciones, cuando hay “grandes licitaciones”, cuando se habla de miles de millones de dólares, los apostadores saben bien qué hacer. Ellos saben que hay mucho dinero en juego; se pasan mucho tiempo pensando y contratan expertos para que les permitan mejorar sus posiciones.
Es obvio que en este caso estoy hablando de licitaciones gubernamentales, en las que aparecen –por ejemplo– empresas de telefonía o de Internet o de telefonía celular involucradas.
En el pasado, este tipo de licitaciones se manejaba en forma arbitraria, algo así como un concurso de belleza. Las ganaba el que seducía mejor. Como consecuencia, el resultado era que los gobiernos no conseguían que nadie pagara el verdadero valor de lo que estaba en juego, y eso sin hablar de la corrupción endémica de quienes negocian este tipo de contratos.
De hecho, con el aporte de Nash, los gobiernos tienen ahora una herramienta muy poderosa, que es la de que los interesados “apuesten” para conseguir lo que quieren, de manera tal de obtener la mayor cantidad de dinero posible. En el año 2002, con la participación de matemáticos expertos en Teoría de Juegos, liderados por Ken Binmore, el gobierno inglés escribió sus reglas para otorgar la licencia para la tercera generación de telefonía móvil. Binmore y su equipo se pasaron dos años pensando en todas las posibles licitaciones (aunque esto suene exagerado). El resultado: el gobierno inglés consiguió 23 mil millones de libras esterlinas (algo así como 46 mil millones de dólares al cambio de fines de julio del 2007). Y eso, por haber usado la teoría de Nash, quien empezó hace 50 años analizando los juegos de ajedrez y de poker, y ahora sus ideas impactan en la economía global y son capaces de generar miles de millones de dólares para los gobiernos (si es que se deciden a usarlas).
Nash, en todo caso, hizo algo muy sencillo, que hasta parece increíble que nadie lo hubiera podido ver antes. Pero claro, los que merecen reconocimiento son aquellos que “miraron en el lugar hacia donde todos apuntaban, pero vieron lo que nadie vio antes”. Quizás, ver lo obvio es tener una gran idea. Siempre hay una primera persona que lo ve.
Quiero terminar con algo que escribí varias veces: es raro que de una ciencia (la matemática) que tiene una rama que se llama Teoría de Juegos, se pueda decir que es aburrida, árida o tenga tanta gente protestando (con razón): “Yo no nací para esto”. Si es así como yo lo pienso, los comunicadores/docentes debemos estar haciendo algo mal.
¿Quién no jugó mientras fue niño? ¿Por qué no seguir haciéndolo ahora que somos adultos?
Breve (vídeo) explicación sobre la Teoría de Juegos

¿Por qué todas las gasolineras, cafés y restaurantes están concentrados en la misma zona abarrotada? Observa cómo dos primos competitivos luchan por dominar el negocio de la venta de helados en una pequeña playa, y descubre cómo la teoría de los juegos y el equilibrio de Nash explican las razones en detalle. Lección de Jac de Haan, animación de Luke Rowsell.

 

 Fuente de origen de este artículo
Una nota original del genial Adrián Paenza. Ver.
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viernes, 10 de junio de 2016

El genio que resolvió la conjetura de Poincaré, Grigori Perelman.

Las últimas fotos que se conocen de él se las sacaron con un celular en un vagón del metro de Petersburgo. Se está quedando pelado pero las mechas largas y desgreñadas le llegan a los hombros, va en zapatillas sucias, un traje arrugado que le queda corto, sin corbata y con la camisa enteramente desprendida, flaco como un Cristo, la barba igual, la mirada perdida, las uñas largas y sucias y curvadas hacia adentro como garras. El vagón va en dirección sur, a Kúpchino, un barrio de monoblocks donde muere el metro. Todos los vecinos de Kúpchino saben quién es Grisha Perelman y cuál es la puerta del ínfimo departamento que comparte con su madre. Pero ninguno va a decírselo a los periodistas y a los fanáticos de la matemática que cada tanto merodean por ahí.
Grigori Perelman, célebre por sus aportes a la Geometría riemanniana y topología.
Grisha Perelman resolvió, en el año 2002, la Conjetura de Poincaré, el problema insoluble por antonomasia del mundo de la matemática. Venía de esas mismas calles, hijo de madre sola y padre emigrado a Israel, acceso vedado a la universidad por ser judío (increíble pero cierto: en 1983 seguía rigiendo en la Rusia soviética el numerus clausus del zar: sólo dos plazas cada diez mil estudiantes), la única chance que tenía Grisha Perelman de estudiar en la Universidad de Leningrado era entrando en el equipo soviético para las Olimpíadas Matemáticas. Preparado por su madre y un ex presidiario de 19 años, Grisha lo hizo. Viajó con el equipo soviético a Budapest, resolvió todos los problemas que le pusieron delante, ganó con puntaje perfecto la medalla dorada, entró en la Universidad, brilló también ahí, se lo disputaron el Instituto Matemático Steklov de su país y la NYU de Nueva York, que al final lo convenció de aceptar al menos una estadía de un año con ellos. Grisha fue, conoció el parnaso de la matemática, incluso tuvo ocasión de tratar a las dos luminarias de su rubro (el americano Richard Hamilton y el chino Shing Tung Yau), pero prefirió volver a Rusia, dijo que pensaba mejor allá, se trajo cinco mil dólares de ese año viviendo a leche y pan negro en Nueva York, según sus cálculos le darían para mantenerse con su madre unos doce años, en el Instituto Steklov le pagaban cien dólares al mes, ya no había Estado soviético, la Rusia de Yeltsin no tenía presupuesto para gastar en matemáticos.
Fundido a negro, placa con el año 2002. Perelman cuelga en Internet, en tres entregas, cada una más corta que la anterior, su resolución de la Conjetura de Poincaré. Ha ignorado el protocolo de la matemática: no se amparó en un padrino, no trabajó en equipo, no mandó su trabajo a una revista seria, no esperó pacientemente que se lo revisaran y aprobaran y le dieran turno de publicación, y se discutiera después en otros artículos. Simplemente lo colgó en Internet. Había sido tan endiabladamente sintético en su formulación (no tenía tiempo de chequear ciertos desarrollos, trabajaba solo) que dos equipos distintos, uno europeo y otro yanqui, estuvieron dos años enteros chequeando cada paso de la resolución y luego sometieron sus resultados a las luminarias Hamilton y Yau, que llevaban décadas rompiéndose la cabeza con ese tema sin encontrarle la vuelta, y al fin todos llegaron a la misma conclusión: Grisha Perelman había resuelto la Conjetura de Poincaré.
El matemático ruso Grigori Perelman, resolvió en 2002 la conjetura de Poincaré
El venerable Sir John Ball, presidente de la Unión Matemática Internacional, vuela a Petersburgo a anunciarle a Grisha que se le va a entregar la Medalla Fields, el equivalente del Premio Nobel en el mundo de la matemática, en un magno evento en Madrid al que concurrirán los tres mil matemáticos más importantes del mundo (la medalla se la entregará el rey de España), además del premio de un millón de dólares que otorga el Instituto Clay de Matemáticas (Massachusetts, EE UU), por haber resuelto el más difícil de los “siete enigmas del milenio”. Ball se espera una entrevista protocolar con el premiado, sonrisa de ambos a las cámaras, apretón de manos y de vuelta a Cambridge. En cambio, después de dos agotadoras jornadas de diez horas seguidas sentado frente a frente con Grisha en una de-sangelada oficina del Instituto Steklov, no logra convencerlo de que acepte los honores.
En esos cuatro años, Grisha tuvo que comerse varios sapos. Primero, el chino Yau presentó junto a dos discípulos un paper que desarrollaba ideas de Perelman como propias (lo anunció con bombos y platillos en un megacongreso en Beijing auspiciado por empresarios de Hong Kong), después Hamilton se hizo el oso para no leer el trabajo de Grisha hasta que no le quedó más remedio (estaba esperando que le saliera un fondo fiduciario de cinco millones de dólares para investigar con su equipo lo que Perelman ya había demostrado solo). En nombre de la comunidad matemática internacional, Ball intenta hacerle entender a Grisha que veía transgresiones al código moral donde no las había. Dicen que Grisha le contestó que podía soportar que el mundo fuera imperfecto, pero no por eso debía aceptar que el mundo de la matemática lo fuera también.
“Cuando no me conocía nadie, tenía la opción de callar. Ahora no puedo, soy demasiado conspicuo. Sé que la gran mayoría de los matemáticos son más o menos honestos. Pero también son conformistas. Tienden a tolerar a los que son menos honestos. De manera que prefiero renunciar a la comunidad matemática”, dicen que le dijo a Ball hacia el fin de aquellas dos agotadoras jornadas. Y rechazó la medalla Fields (el primer matemático de la historia en hacerlo) y rechazó el millón de dólares del Premio Clay, y ahí sí le dio la mano a Ball, pero sin cámaras delante, y se fue del Instituto por una puerta lateral y caminó hasta la boca del metro y se volvió a su casa en la línea sur que va a morir en los monoblocks de Kúpchino, tal como en esa foto que le sacaron hace poco por celular. Dicen los que lo conocen que Grisha toma seguido esa línea, pero ya no para dirigirse al Instituto Steklov, sino para ir al teatro Mariínski (ex Kirov) adonde le gusta escuchar ópera desde el gallinero: no le importa no ver el escenario, dice que ahí arriba la acústica es mejor y que lo que le interesa a él son las voces. Cuando vuelve, prepara el samovar y se sienta a contarle a su anciana madre la función a la que asistió. Dicen los vecinos que la luz queda encendida hasta tarde. Dicen que se los oye cantar y beber y hablar en lenguas o rezar, o quizá sea simplemente que se están recitando uno a otro parágrafos de teoremas como si fuesen poemas.

Los problemas resueltos de Grigori Perelman

Perelman estuvo en la universidad pública de California en Berkeley dos años, entre 1993 y 1995, gracias a la prestigiosa beca Miller de investigación. En ese periodo dio una demostración concisa para la ‘conjetura del alma’ de la geometría de Riemann.

En noviembre 2002, y en marzo 2003, publica las dos partes de la solución a la conjetura de Poincaré. Fue una gran sorpresa, sobre todo para varios equipos matemáticos que se encontraban, según ellos, en fases muy avanzadas de su resolución.

Tras cuatro años de comprobaciones un equipo de expertos dictamina que: La conjetura ha sido resuelta. Inmediatamente la conjetura adquirió el estatus de teorema.

Sobre su aislamiento con la comunidad matemática

En 1996 deja de contestar a los correos electrónicos de sus colegas norteamericanos y prescinde de discutir sus proyectos. A partir de ese momento, nadie sabía en qué estaba trabajando Perelman, aunque seguramente fue cuando comenzó su asalto a la conjetura de Poincaré.

Que Grisha no había desaparecido del todo quedó claro cuatro años más tarde, cuando el matemático norteamericano Mike Anderson recibió un correo electrónico en el que el genio ruso le planteaba algunas dudas sobre un trabajo que este acababa de publicar.

Dos años y medio después se confirmó que Grigori Perelman no era de aquellos talentos prometedores que de pronto se paran y quedan empantanados. El 2 de noviembre de 2002, Anderson recibió, al mismo tiempo que un puñado de matemáticos, otro correo de Perelman en el que informaba de que había colgado un nuevo trabajo en Internet.

Un año más tarde, en el 2003, Perelman colgó una segunda parte de su trabajo, mientras hacía los trámites para el visado que le permitiera viajar de nuevo a EE UU. En Norteamérica, Perelman dio magníficas conferencias y comentó a un colega que creía que pasaría un año y medio o dos antes de que se comprendiera la demostración expuesta en su trabajo.

Perelman rechazó las numerosas ofertas que le hicieron para quedarse en EE UU y regresó a San Petersburgo en abril de 2004. El 17 de julio colgó la tercera y última parte de su trabajo. Si la primera era de 30 páginas y la segunda de 22, esta tenía apenas siete.

Grigori Perelman, tras resolver la Conjetura de Poincaré, dejó su trabajo en el  prestigioso
Intituto Steklov, de Moscú, en el añp 2005, y anunció que abandonaba las matemáticas

Hasta que en diciembre de 2005 renunció al puesto en el Instituto Steklov, donde trabajaba. Cuando lo hizo, anunció que abandonaba las matemáticas.

Fuentes de origen
Un artículo original de Luis Forn en Página12. Ver.
Recomiendo un par de artículos muy comprensibles:
Explicación del Teorema Poincaré-Perelman en Gaussianos.
¿Para qué sirve la demostración de la conjetura de Poincaré? en La Ciencia de la Mula Francis

Al parecer alguien había hecho contacto con Grigori Perelman en el año 2012, todos los detalles aparecen en este enlace, de la revista SEVEN de Sunday Telegraph.
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jueves, 9 de junio de 2016

[VIDEO] La Conjetura de Goldbach

En este nuevo vídeo, el divertido matemático Eduardo Saenz, nos pregunta ¿Eres capaz resolver uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas?. Nos habla sobre la Conjetura de Goldbach.

Fuentes relacionadas

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miércoles, 8 de junio de 2016

La Conjetura de Goldbach

Un problema abierto

Estoy seguro de que a ustedes les habrá pasado alguna vez, que se tropezaron con una idea, pero no estaban tan seguros de que fuera cierta y se quedaron un rato pensándola. Si no les ocurrió nunca, empiecen ahora, porque nunca es tarde. Pero lo maravilloso es poder “entretener” en la cabeza de uno algún problema cuya solución sea incierta. Y darle vueltas, mirarlo desde distintos ángulos, dudar, empezar de nuevo. Enfurecerse con él. Abandonarlo para reencontrarlo más tarde. Es una experiencia inigualable: se las recomiendo.

En la historia de la ciencia, de las distintas ciencias, hay muchos ejemplos de situaciones como las que expuse en el párrafo anterior. En algunos casos, los problemas planteados pudieron resolverse sencillamente. En otros, las soluciones fueron mucho más difíciles, llevaron años (hasta siglos). Pero, como ustedes ya sospechan a esta altura, hay muchos, de los que todavía no se sabe si son ciertos o falsos. Es decir: hay gente que ha dedicado la vida a pensar que cierto problema tenía solución, pero no la pudieron encontrar. Y otros muchos que pensaron que era falso, pero no pudieron encontrar un contraejemplo para exhibir.

De todas formas, resolver alguno de los que aún permanecen “abiertos” traería fama, prestigio y también dinero al autor.

La Conjetura de Goldbach


Quiero hablar sobre una conjetura conocida con el nombre de “La Conjetura de Goldbach”.

El 7 de junio de 1742 (piensen entonces que ya pasaron casi 274 años), Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos), sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación porque a él no se le ocurría:

“Todo número par positivo, mayor que dos, se puede escribir como la suma de dos números primos.”

¿Qué es un número primo? Es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por uno. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos. Pero 6 y 15 no lo son. Seis no es primo porque es divisible por 2 y por 3, mientras que 15 no lo es porque es divisible por 3 y por 5 (además de 1 y 15). Ah, además, el número uno no se considera primo.

Pero volviendo a Goldbach, veamos algunos ejemplos en donde es muy fácil comprobar que la conjetura es cierta (escoja cualquier número par mayor que dos)

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

14 = 7 + 7 = 3 + 11

24 = 11 + 13 = 7 + 17

.....

84 = 11 + 73

100 = 3 + 97

268 = 5 + 263

870 = 7 + 863,

y así podríamos seguir.

En esta página podemos obtener la representación de un número par como la suma de dos números primos simplemente introduciendo el mismo (no encontré qué limite de cifras tiene este programa).

Al principio, Euler no le prestó demasiada atención al problema porque le pareció trivial. Bueno, trivial o no, Euler no pudo encontrar la demostración y, en realidad, luego de más de dos siglos y medio todavía no pudo ser resuelto por ningún humano.

La novela Uncle Petros & Goldbach’s Conjecture del escritor de origen australiano y criado en Grecia, Apostolos Doxiadis –publicada en 1992 en griego y traducida a diversos idiomas en el año 2000– es la que promovió que las compañías editoras Faber y Faber de Gran Bretaña y Bloomsbury Publishing de Estados Unidos ofrecieran un millón de dólares a quien pudiera resolver la Conjetura de Goldbach. El premio se lo podía llevar cualquier persona que diera una demostración durante los años 2000 y 2002. Nadie la encontró. Pero tampoco nadie encontró que fuera falsa.

Doxiadis es también reconocido como uno de los iniciadores de las novelas con “trama matemática” y, además, ha dirigido varias obras de teatro así como algunas películas.

Pero lo que importa en este caso es que la popularidad alcanzada por la novela devino en la oferta (que nadie pudo reclamar aún) de los editores. ¿Será acaso el turno de alguno de los lectores de estea entrada?

Desde 1742 hasta hoy nadie pudo resolver el problema, pero tampoco nadie pudo demostrar que fuera falso. En 1855 se sabía que los primeros 10.000 números la cumplían y en 1940 se llegó a los 100.000.

Hasta hoy (junio del 2016), se sabe que la conjetura es cierta para todos los números pares que sean menores que 4 x 10^18, o sea menores que ¡un número 4 seguido de dieciocho ceros! (Tomás Oliveira e Silva, abril 2012).

De todas formas, por más que las computadoras sigan avanzando, nunca llegarán a probarlo para todos los números. Para ello, se necesita una prueba abstracta, una teoría matemática que sea capaz de demostrar que Goldbach, profesor de matemática en San Petersburgo, tenía razón.

El desafío que presentó en su momento la empresa Faber fue un intento de conseguir la mayor publicidad posible para su último libro El tío Petros y la Conjetura de Goldbach. Igualmente, yo perdería las esperanzas: se calcula que en todo el mundo hay sólo 20 personas que podrían resolver esta conjetura. Y no me queda claro que sea ni quien esto escribe. Ni quien lo lee.

 Conjetura 'débil' de Goldbach


Para terminar, quiero dejar planteada otra conjetura también sugerida por Goldbach, conocida con el nombre de “La Conjetura débil de Goldbach”, que dice que todo número impar mayor que cinco se escribe como la suma de tres números primos. En el año 2013, este último fue demostrado por Harald Helfgott, investigador del CNRS. Desde los trabajos de Vinogradov en 1937 se sabía que la conjetura débil era cierta para números mayores que una cierta constante, pero esa constante era tan gigantesca que imposibilita cualquier verificación por ordenador de los casos restantes. Un nuevo enfoque permitió a Helfgott reducir la cota, convirtiendo la comprobación final de la conjetura en "una tarea computacional menor".

Se cree firmemente que la conjetura de Goldbach es cierta. ¿Hay algún argumento que pueda convencernos de ello?. Pues si, uno muy simple:cuanto mayor es un número par mayor es el número de formas con las que se podemos expresarlo como la suma de dos números.Por tanto, mayor es la probabilidad de que exista una forma de escribirlo en la que los dos números sean primos.

Si bien toda conjetura puede resultar falsa, la opinión “educada” de los expertos en teoría de números es que lo que pensó Goldbach es cierto y sólo es una cuestión de tiempo hasta que aparezca la demostración.

Fuentes de origen

Un artículo original de Adrián Paenza, en Págin12. Ver.

Fuentes en este blog

La Conjetura débil (o ternaria) de Goldbach.
En Naukas: Demostrada la Conjetura débil de Goldbach
EL MAT3MÁTICO IMPAR. Entrevista a Harald Helfgott.
En el blog de Harald A. Helfgott. (Sobre su demostración, explicado)
La Conjetura de Collatz.

[VIDEO] Conjetura de Goldbach

En este nuevo vídeo, el divertido matemático Eduardo Saenz, nos pregunta ¿Eres capaz resolver uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas?. Nos habla sobre la Conjetura de Goldbach.



Anexo: 
Carta enviada el 7 de junio de 1742
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