viernes, 30 de octubre de 2015

La Conjetura de Collatz


El algoritmo de Syracuse
Original de Adrián Paenza.


Vamos a construir juntos una sucesión de números naturales (enteros positivos). La regla es la siguiente: empezamos por uno cualquiera. Digamos, a manera de ejemplo, que elegimos el número 7. Ese va a ser el primer elemento de nuestra sucesión.


Para generar el segundo elemento, hacemos lo siguiente: si el que elegimos primero es par, lo dividimos por dos. En cambio, si es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1.

En nuestro ejemplo, al haber elegido el 7, como no es par, tenemos que multiplicarlo por 3 y sumarle 1. Es decir, se obtiene el número 22, ya que 3 x 7 = 21 y sumando uno, queda 22.

Ahora bien: tenemos entonces los primeros dos elementos de nuestra sucesión: {7,22}.

Para generar el tercer número de la sucesión, como el 22 es un número par, lo dividimos por dos, y obtenemos 11. Ahora tenemos {7,22,11}.

Como 11 es impar, la regla dice “multiplíquelo por 3 y súmele 1”. O sea, 34. Se tiene {7,22,11,34}.

Luego, como 34 es par, el próximo elemento de la sucesión es 17. Y el siguiente es 52. Luego 26. Y después 13. Y sigue 40. Luego 20. Hasta acá tenemos {7,22,11,34,17,52,26,13,40,20}.

Seguimos dividiendo por dos los pares y multiplicando por 3 y sumando 1 a los impares: {7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}.

Y en el número 1, paramos.

Lo invito ahora a que elijamos cualquier otro número para empezar, digamos el 24. La sucesión que se tiene es: {24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}.

Si ahora empezamos con el 100, se sigue: {100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}.

Como se alcanza a ver, todas las sucesiones que elegí terminan en el número 1. En realidad, aunque no lo dije antes, al llegar al número 1 el proceso se detiene, porque si uno siguiera, entraría en un lazo, ya que del 1 pasaría al 4, del 4 al 2 y del 2 → 1. Por eso es que cuando al construir la sucesión llegamos al número uno, detenemos el proceso. En este enlace puedes introducir el número que quieras para comprobar esta conjetura, y comprobar que siempre se llega a uno (no me he fijado el límite del número elegido).

Bien. Hasta hoy, julio de 2016, en todos los ejemplos conocidos siempre se termina la sucesión en el número 1. Pero, no se tiene ninguna demostración que pruebe que el resultado es válido para cualquier número. Este problema se conoce con el nombre del “Problema 3x + 1”, o también como el “Problema de Collatz”, o “Problema de Syracuse”, o “Problema de Kakutani” o “Algoritmo de Hasse” o “Problema de Ulam”.

Como ven, tiene muchos nombres, pero ninguna solución. Es una buena oportunidad para empezar. Con todo, así como escribí el otro día respecto de la Conjetura de Goldbach, es poco probable que a un “lego” se le ocurra cómo resolver el problema general. Pero, en la historia de la humanidad hay múltiples ejemplos de personas que tuvieron el ingenio suficiente para superar dificultades para la que se suponía que no estaban preparadas. Y lo hicieron, casi sin historia en el área ni herramientas sofisticadas.

Fuentes para investigar

La conjetura de Collatz. En Gaussianos.
Collatz Conjecture (en inglés). En Wikipedia.
Collatz Problem (en Wolfram).
Artículo: Is this the simplest unprovable math problem ever?.



[VIDEO] La Conjetura de Collatz

En este nuevo vídeo, el divertido matemático Eduardo Saenz, nos pregunta ¿Cómo puedo llegar a la unidad desde cualquier número? Pues, él nos va a hablar acerca de la conjetura de Collatz. 


lunes, 26 de octubre de 2015

El principio de inducción matemática

En esta oportunidad el genial Eduardo Saenz, nos explica el principio de inducción matemática, un razonamiento que permite demostrar la veracidad de proposiciones que dependen de una variable “n” que toma una infinidad de valores enteros. 




La multiplicación en la Edad Media

La multiplicación era considerada una operación muy difícil en Europa antes del siglo XVI, pues aún se utilizaban los números romanos y, en este sistema de numeración las operaciones con números grandes son más difíciles que con el sistema decimal posicional.  
Antes de que se adoptara este sistema en Europa, la multiplicación sólo se enseñaba en las universidades.

¿Cómo trabajar en Google?

La condición humana consiste en creer en lo inútil y en concebir lo imposible; consiste en resolver problemas sin sentido y en ser curiosos hasta la insensatez. Esta historia que les propongo tiene poco más de diez años, sin embargo, me sigue pareciendo interesante y permite una reflexión más contemporánea que nunca acerca del valor de la curiosidad. La encontré del libro de Adrián Paenza: "¿Cómo, esto es matemática?", él cuenta:

¿Usted quiere entrar a trabajar en Google? Necesita estar preparado, por ejemplo, para resolver problemas como los siguientes. 
La historia, al menos para mí, empezó en agosto del 2004. Estaba en ese momento en Boston y, al pasar por una estación de subte, vi un cartel de publicidad muy grande, de unos 15 metros de largo, que estaba colgado en el techo de la estación que te deposita en la Universidad de Harvard. 
El cartel decía lo siguiente: 
www.(primer primo de 10 dígitos consecutivos del desarrollo de e).com 
Y nada más que eso. Obviamente, me llamó muchísimo la atención y lo primero que pensé era si se trataría efectivamente de un cartel de publicidad o que algunas personas estarían haciendo una broma o algo así. Pero no, el cartel tenía todas las características de estar impreso en forma convencional y no había razones para presumir que ése era el único. 
Quiero poner una frase aquí, pero con el compromiso entre usted y yo de que no se verá intimidado. Lo que quiero explicar, en dos palabras, es qué es el número “e”. 
Cuando uno dice que algo crece exponencialmente, aunque no lo sepa, involucra al número “e”. Cuando uno habla de logaritmos, habla del número “e”. Cuando uno habla de interés compuesto, habla del número “e”. Cuando uno habla de la escala de Richter para medir terremotos, está involucrado el número “e”. 
De la misma forma que usted se acostumbró a escuchar o a leer que el número “pi” se escribe así: 
pi = 3.14159... 
el número “e”, también tiene infinitas cifras, y las primeras son las siguientes: 
e = 2,718281828... 
El número “e” es una suerte de pariente del número “pi”, en el sentido de que, así como “pi”, el número “e” es irracional y trascendente. (En otro momento voy a escribir algo más sobre él, pero a los efectos de lo que hace falta para esta nota basta con saber eso, que es un pariente de “pi”.) 
La historia sigue así. Después de ver el cartel allí (y descubrirlo en otros lugares más), le comuniqué mi hallazgo a Carlos Dandrea, un muy querido amigo, también matemático, egresado de la UBA, que hoy trabaja en Barcelona, luego de su exitoso paso por Berkeley. Le comenté lo que había visto, pero que no sabía cómo hacer para resolver ese problema. Carlos, a su vez, me dijo que le trasladaría la pregunta a Pablo Mislej, otro muy buen matemático argentino que trabaja en un banco de Buenos Aires. 
Pablo y su mujer acababan de tener su primer hijito. Carlos le trasladó el problema y, unos días después, Pablo me escribió un mail contándome lo que había hecho. 
Su primera dificultad fue encontrar en alguna parte la mayor cantidad de decimales posibles que hubiera publicados del número “e”. 
Y lo descubrió en esta página: 
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil 
Allí encontró el primer millón de dígitos del número “e”. Con esa información podía trabajar tranquilo. Esos datos se conocen ya desde hace muchos años, más precisamente desde 1994. 
Para fijar las ideas: en esa página web está escrita una tira del primer millón de decimales del número “e”. Lo que tuvo que hacer Pablo fue empezar a cortar esa tira enorme de un millón de números y separarla en segmentos de diez numeritos cada uno, y luego fijarse cuál de ellos era el primero en formar un número primo.Como se dan cuenta a esta altura, todo esto es imposible de hacer sin una computadora y siendo capaces de escribir un programa que haga lo que uno quiere. Bueno, Pablo lo hizo. 
Con todo, la primera “tira” de 10 dígitos que cumplía con lo pedido era: 
7427466391 
Justo el número “7”, que aparece como primer número de esta tira, corresponde al dígito número 99 de la parte decimal del número “e”. 
Con eso, había resuelto el problema del cartel. ¿Qué hacer entonces? Lo que tuvo que hacer fue ir a la página web siguiente: 
http://www.7427466391.com 
y ver qué pasaba. Y fue (hoy, octubre del 2015, ya no existe más). Cuando llegó allí, se encontró (algo así como si fuera “La Búsqueda del Tesoro”) con otro problema para resolver. Claro que, para llegar a él, había que haber resuelto el primero. Y lo que vio Pablo fue lo siguiente: 
f(1)= 7182818284
f(2)= 8182845904
f(3)= 8747135266
f(4)= 7427466391
f(5)= __________ 
y de lo que se trataba era de completar la secuencia. Es decir, mirando los primeros cuatro números que aparecen en la columna de la derecha, ¿se le ocurre qué número poner en el quinto lugar? 
Pablo me escribió que con suerte advirtió que, en los primeros cuatro números, cuando uno suma los diez dígitos, descubre que la suma da siempre 49. No sólo eso: como ya tenía los datos sobre el número “e” y su desarrollo, recordó que los primeros cuatro números que están en esa columna correspondían a cuatro de las “tiras” que él ya tenía. Es más: vio que el primer número (7182818284), correspondía a los primeros diez dígitos del desarrollo decimal del número “e”. El segundo (8182845904), son los dígitos que van desde el quinto hasta el decimocuarto lugar. El tercero (8747135266) corresponde a los dígitos que van del lugar 23 al 32 y por último, el cuarto (7427466391), es la “tira” que involucra a los dígitos 99 al 108 del desarrollo de “e”. 
Se dio cuenta de que estaba cerca: necesitaba entonces buscar la primera “tira” de todas las que no había usado, que sumara 49. 
¡Y la encontró! El candidato a ser el quinto número de la secuencia era el 
5966290435 
que corresponde a los dígitos 127 al 136 del desarrollo decimal. Y eso fue lo que escribió. 
Cuando completó la secuencia y apretó “enter” en su computadora, apareció súbitamente en otra página web. Esta decía: 
http://www.google.com/labjobs/index.html 
en donde te invitaban a que envíes tu curriculum vitae y que la firma Google te tendría en cuenta para contratarte, porque habías superado los obstáculos que ellos creían suficientes para poder pertenecer a la firma. 
Como dato ilustrativo, también otro amigo mío, y profesor de la Facultad de Ciencias Exactas (UBA), Ricardo Durán, resolvió el problema. Pero, hasta donde yo sé, por ahora Pablo sigue trabajando en el banco, y Ricardo es uno de los mejores profesores que tiene el departamento de matemática de la facultad, además de uno de los mejores tipos que yo conocí.
 ¡Vaya selección de personal!. Ellos consideraban que la persona que hubiese llegado hasta aquí podía ser considerada seriamente para trabajar en Google.

¿Pero cuál es el punto en todo esto?. A los no iniciados en matemática estos problemas les parecerán imposibles, pero les puedo asegurar que la resolución está al nivel de un estudiante de primer año de una carrera técnica, científica o informática. ¿Entonces? ¿por qué Google seleccionaría a estudiantes  de primer año para trabajar con ellos?. 

Desde mi punto de vista, el paso más difícil es el primero: pasar de leer el cartel a resolver un problema que no tenemos ni idea a dónde nos va a llevar. El verdadero valor de las personas que llegan hasta el final es la curiosidad y la ambición de resolver un problema porque sí, porque parece un desafío imposible y absurdo y sin embargo queremos resolverlo.

Es esa determinación la que los habilita a trabajar en una empresa top. ¿Habría funcionado un anuncio así en nuestras universidades?

Fuentes relacionadas en este blog

Píldoras matemática en las recompras de Google

Recomiendo el artículo de Clara Grima: Las matemáticas de Google

Alphabet, es la nueva empresa matriz de Google, anunció por primera vez la recompra de acciones del gigante de la tecnología el pasado jueves: casi $ 5.100 millones.
El valor exacto en dólares de la recompra de Alphabet es: 5.099.019.513,59. ¿Qué es este valor? ¿Se tomó aleatoriamente la combinación de estos dígitos?
Por supuesto, esto no era un número seleccionado al azar. La raíz cuadrada de 26 (el número de letras en el alfabeto) es 5,09901951359, valor que multiplicado por mil millones, en dólares, se obtiene la cantidad de recompra.
Por supuesto, este tipo de "estilo geek" son ya una tradición  en Google. Comencemos con algunas de estas:

¿Sabes cuál es el valor de salida en la bolsa de Google?. Exactamente 2.718.281.282, si es lo que está pensando el número e - un concepto matemático utilizado con frecuencia en el cálculo.
Un año más tarde, en el 2005, Google dijo que vendería sus acciones por un monto total de 14.159.265, que son los ocho primeros dígitos después del punto decimal del número "pi".
En 2011, cuando Google estaba haciendo una oferta para las patentes de Nortel Networks, el gigante de la tecnología en un momento llegó a proponer el valor de "pi".
Un texto original de la escritora Jessica Guynn. Para USA TODAY
Dejo este enace por si alguna vez te has preguntado ¿Cómo trabajar en Google?


El número que se escribe con un 1 seguido de 100 ceros se llama googol. #Google pretendía venir de "googol", pero se confundió la escritura.
Posté par James Tesen Garay sur dimanche 6 septembre 2015

domingo, 25 de octubre de 2015

Andrew Wiles y el último teorema de Fermat.

Un enigma en el margen


En 1637 Pierre de Fermat, un jurista aficionado a las matemáticas, escribió una conjetura en el margen de una página de un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto.
Si n es un número entero mayor que dos, entonces no existen números enteros positivos x, y y z, tales que se cumpla la igualdad: 
xⁿ + yⁿ = zⁿ 

Fermat agregó: "Tengo una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado estrecho para contenerla".

La historia de la demostración, y de los dolores de cabeza que le produjo la conjetura de Fermat a generaciones de matemáticos, termina con la prueba del británico Andrew J. Wiles, quien en 1993 dio con la solución.

Pierre de Fermat (1601-1665)

La conferencia del siglo


Después de siete años de esfuerzo en solitario, el profesor Wiles había completado una demostración de la conjetura de Taniyama–Shimura. Como consecuencia, y tras treinta años de soñar con ello, había demostrado también el último teorema de Fermat. Era el momento de contárselo al resto del mundo.

El camino que lo llevó a esta prueba no fue tan simple como lo sugiere esta descripción. En 1993 Wiles les dijo a otros matemáticos que estaba cerca de la prueba de Fermat. Así completó los detalles que quedaban pendientes y dio una serie de conferencias en el Isaac Newton Institute en Cambridge.

Uno  de los organizadores era el profesor John Coatesel director de tesis de Wiles, la única noticia que tenían (junto a los otros organizadores) era que necesitaba tres días, y que iba por la demostración de cierto teorema. El título de la serie de conferencias de Wiles era: "Formas modulares, curvas elípticas y representaciones de Galois".

Andrew Wiles. Foto del Boletín semanal de Princeton - Septiembre 1993

La primera conferencia de Andrew Wiles comienza en la mañana del 21 de junio de 1993, era aparentemente mundana, asentando las bases de su ataque a la conjetura de Taniyama–Shimura en la segunda y tercera. La mayoría del público, que ignoraba completamente los rumores, prestó poca atención a los detalles. Los que estaban enterados buscaban la menor pista que pudiera dar credibilidad a los rumores.

Inmediatamente tras el fin de la conferencia los rumores volvieron a extenderse con renovado vigor y el correo electrónico voló alrededor del mundo. El profesor Karl Rubin, un antiguo estudiante de Wiles, informó a sus colegas de Estados Unidos:

Fecha: Lunes, 21 Jun. 1993; 13.33.06 Tema: Wiles 
Hola. Andrew ha pronunciado su primera charla hoy. No ha anunciado una demostración de Taniyama–Shimura, pero se está moviendo en esa dirección y aún le quedan dos conferencias más. Aún está siendo muy reservado sobre el resultado final.Mi mejor suposición es que va a demostrar que si E es una curva elíptica sobre Q y la representación de Galois en los puntos de orden 3 sobre E satisfacen ciertas hipótesis, entonces E es modular.Por lo que ha dicho parece que no probará la conjetura completa. Lo que no sé es si se aplicará esto a la curva de Frey y por lo tanto dice algo sobre Fermat. Os mantendré informados. 
Karl Rubin 
Universidad Estatal de Ohio
Al día siguiente, más gente había oído el rumor y la audiencia de la segunda conferencia fue considerablemente mayor. Wiles los atormentó con un cálculo intermedio que probaba claramente que estaba intentando demostrar la conjetura de Taniyama–Shimura, pero el público aún se preguntaba si había hecho lo suficiente para demostrarla y, en consecuencia, derrotar el último teorema de Fermat. Una nueva andanada de correos electrónicos pasó por los satélites:
Fecha: Martes, 22 Jun. 1993; 13.10.39 Tema: Wiles
No ha habido más noticias realmente nuevas en la conferencia de hoy. Andrew enunció un teorema general sobre representaciones de Galois siguiendo las líneas que sugerí ayer. No parece que se aplique a todas las curvas elípticas, pero la clave vendrá mañana.No sé realmente por qué lo está haciendo así. Está claro que sabe lo que va a decir mañana. Es en verdad una cantidad enorme de trabajo sobre la que ha estado trabajando durante años, y parece confiar en ella. Os contaré lo que pase mañana.
Karl Rubin 
Universidad Estatal de Ohio
En la última conferencia, la audiencia estaba preparada para lo mejor. Entre los asistentes se encontraban doscientos de los mejores matemáticos del mundo, y los estudiantes llenaban los pasillos de la sala agolpándose en la puerta para poder contemplar ese momento. Wiles comenzó su última exposición. Ken Ribet recuerda que llegó pronto con su cámara de fotos lista, se había asegurado de no perderse el anuncio matemático más importante del siglo: «La atmósfera estaba muy cargada y la gente muy excitada. Ciertamente teníamos la sensación de participar en un momento histórico».

Después de siete años de intenso esfuerzo, el miércoles 23 de junio de 1993, alrededor de las 10:30 de la mañana, Wiles estaba a punto de anunciar su demostración al mundo. Curiosamente, Wiles no puede recordar los momentos finales de la conferencia con mucho detalle, pero sí el ambiente: 

«Aunque la prensa ya había oído algo sobre la conferencia, afortunadamente no estaba allí. Pero entre el público había quien tomaba fotografías hacia el final de la charla y el director del instituto había venido bien preparado con una botella de champán. Hubo el típico silencio mientras leía la demostración, y entonces escribí el enunciado del último teorema de Fermat. Dije: “Creo que lo dejaré aquí”, y entonces hubo un prolongado aplauso.»


Efectivamente cuando el profesor Wiles escribió el enunciado del último teorema de Fermat sobre la pizarra, el público por un momento quedó en silencio sin comprender nada. Algunos, al repasar todo lo escrito en la pizarra, empezaron a quedar boquiabiertos de asombro. Luego todos los asistentes comenzaron a aplaudir.


Las secuelas y un error sutil

Cuando el resultado estuvo escrito, listo para ser publicado, un error sutil fue descubierto.

Wiles trabajó arduamente por mas o menos un año, ayudado por R. Taylor y el 19 de Septiembre de 1994, casi rendido, decidió dar una última batalla.

“[...] De repente, inesperadamente, tuve esta revelación increíble. Fue el momento más importante de mi vida como matemático . Nada de lo que haga en adelante será tan indescriptiblemente bello, tan simple y tan elegante. Me quedé mirándolo en descreimiento por veinte minutos, y pasé el resto del día dando vueltas por el departamento. Volvía a cada rato a mi escritorio para ver si seguía ahí…. Y seguía ahí”

En 1994, Wiles fue designado Eugene Higgins Professor of Mathematics en Princeton. El artículo en el que prueba el Último Teorema de Fermat es “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem” que fue publicado en el Annals of Mathematics en 1995. A partir de 1995 Wiles comenzó a recibir premios y distinciones por su sobresaliente trabajo. 

Se le otorgó el Schock Prize in Mathematics de la Royal Swedish Academy of Sciences y el Prix Fermat de la Université Paul Sabatier. En 1996 recibió más premios incluídos el Wolf Prize y fue elegido miembro extranjero de la National Academy of Sciences de los Estados Unidos, recibiendo además el premio para matemática que otorga esta Academia. Wiles dijo:

“[...] No hay otro problema que vaya a significar lo mismo para mí. Tuve el raro privilegio de poder perseguir mi sueño de infancia durante mi vida adulta. Sé que es un raro privilegio, pero también sé que si uno es capaz de hacer esto, es más gratificante que cualquier otra cosa que uno se pueda imaginar.”

En la Enciclopedia Británica, el trabajo de Wiles ha sido resumido en la siguiente frase:
“El trabajo de Willes es sumamente original, una obra maestra técnica y un monumento a la perseverancia individual."
Andrew Wiles ante la imagen de Pierre de Fermat en Beaumont de Lomagne, en 1995

Fuentes relacionadas en este blog

Anderw Wiles, premio Abel 2016.
El problema de los matemáticos.
La leyenda de Wolfskehl y el último teorema de Fermat.

El encuentro entre Yutaka Taniyama y Goro Shimura


En enero de 1954, un brillante y joven matemático de la Universidad de Tokio fue a la biblioteca de su departamento. Goro Shimura buscaba una copia del volumen 24 de Matematische Annalen. En particular estaba buscando un artículo de Deuring sobre su teoría algebraica de la multiplicación compleja, que necesitaba como ayuda para un cálculo particularmente difícil y esotérico.

Para su sorpresa y consternación, alguien se había llevado ya el volumen. Quien lo había tomado en préstamo era Yutaka Taniyama, un conocido lejano de Shimura que vivía al otro lado del campus. Shimura escribió a Taniyama explicando que necesitaba la revista con urgencia para completar el complejo cálculo y le preguntó educadamente cuándo la devolvería.

Pocos días más tarde apareció una carta en la mesa de Shimura. Taniyama había contestado diciendo que también él estaba trabajando en aquel mismo cálculo y que estaba atascado en el mismo paso lógico. Sugirió que podían compartir sus ideas y tal vez colaborar en el problema. Este casual encuentro gracias a un libro de la biblioteca inició una colaboración que cambiaría el curso de la historia de las matemáticas.

*Extraído del libro de Simon Singh: "El Enigma de Fermat"

viernes, 23 de octubre de 2015

1759. El esperado regreso del cometa 'Halley'

Las culturas antiguas interpretaban los cometas como mal augurio.

En 1687 Newton había asegurado que los cometas debían estar sujetos a la ley de la Gravitación Universal y que, por tanto, debían orbitar en torno al Sol y aparecer de manera periódica. Tras estudiar registros históricos, Edmond Halley hizo la hipótesis de que los cometas que habían sido observados en 1531, 1607 y 1682 debían ser el mismo objeto que pasaba cada 76 años, y predijo su próxima vista para 1758. Una gran expectación precedió al regreso del cometa. Halley no vivió para verlo, pero la reaparición de su cometa (el Halley) se produjo efectivamente el 25 de diciembre de 1758 para pasar por el perihelio en 1759. El regreso del Halley en 1759 constituyó en su día un espectacular triunfo de la teoría de Newton. Aún hoy, aquella reaparición -como la de todos los cometas- es considerada como una de las más bellas ilustraciones de la capacidad predictiva de la ciencia.

La Predicción


Aunque Halley era 14 años mayor que Newton, ambos hombres mantuvieron una gran amistad durante largos años. En la década de los 1680, Halley persuadió (y ayudó monetariamente) a su amigo para que publicase los Principia. Por lo tanto, Halley estaba muy al corriente de las predicciones de la teoría de la Gravitación sobre las órbitas de los cometas que debían hacerlos visitar el entorno solar de manera periódica. Halley se dedicó a buscar posibles candidatos históricos de los que se pudiese esperar su regreso. En 1682 había pasado un cometa brillante con órbita retrógrada (de sentido contrario a las de los planetas), que parecía muy similar a los cometas de 1607 y 1531.

Ciertamente los dos intervalos que mediaban entre los tres cometas no eran idénticos, pero esto podía deberse a las perturbaciones que los planetas debían causar sobre la órbita del cometa. Halley comunicó, pues, a Newton su sospecha de que los cometas de 1531, 1607 y 1682 eran el mismo objeto, y predijo que este cometa reaparecería a finales de 1758 o principios de 1759.

Esperando el Cometa


Halley murió en 1742 y no pudo asistir a los eventos de 1759. Según se aproximaba la fecha, la expectación crecía y no faltaban predicciones catastróficas que auguraban la colisión del cometa con la Tierra. En París, el astrónomo Alexis Clairaut (1713-1765) refinó los cálculos de Halley y predijo que el cometa pasaría por su perihelio en abril de 1759.

Un granjero alemán fue el primero en observar el regreso del cometa el 25 de diciembre de 1758. El astrónomo francés Charles Messier (1730-1817) lo comenzó a observar de manera profesional unos días más tarde. El cometa, tras mostrarse en todo su esplendor, pasó por su perihelio en marzo de 1759 y emprendió el camino de vuelta. Su órbita retrógrada era la misma que la de los cometas de 1531, 1607 y 1682. Claramente se trataba de un mismo objeto, un único cometa: el cometa Halley.

El esperado regreso del cometa Halley en 1759 constituyó un nuevo y espectacular triunfo de las teorías de Newton. Aún hoy, aquel regreso del Halley -al igual que los regresos que se predicen para muchos cometas periódicos- sigue constituyendo una bella ilustración de la capacidad predictiva de la ciencia.

Curiosidades

El cometa 'Halley' en la 'Adoración de los Reyes' (Giotto 1301)

-Al llegar a la lejana isla de Santa Helena, Halley se llevó una gran decepción debido a las numerosas brumas y al cielo tan frecuentemente nublado que allí imperaba, lo que impedía la observación astronómica. Parece ser que, además, un alto empleado de la Administración (cuyo nombre se ignora) le envolvió en numerosos y desagradables enredos.

-Halley practicaba la poesía latina. En la edición de 1713, los Principia de Newton van encabezados por unos versos en latín del propio Halley en los que alaba los descubrimientos realizados por su amigo.

-Halley no estaba exento de prejuicios que hoy nos parecen muy extraños. Por ejemplo, en un trabajo de 1714 no podía admitir que un satélite (la Luna) fuese más grande que un planeta (Mercurio), ni que un planeta sin satélites (Venus) fuese mayor que otro que contaba con un satélite (la Tierra).

-Hay registros de observaciones del cometa Halley desde el año 240 a. C. Aparece reproducido en los famosos tapices de Bayeux (paso de 1066) y en la famosa adoración de los Reyes Magos de Giotto (posiblemente inspirado por el paso de 1301). Sin embargo, el cometa no pudo verse durante la Natividad de Cristo, su paso más cercano a esta fecha se produjo en torno al año 12. a. C.

-El último paso por el perihelio del cometa Halley se produjo el 9 de febrero de 1986 y el próximo se producirá el 28 de julio de 2061.

Edmond Halley: El Tycho del Sur

Edmond Halley (1656 - 1742)

Edmond Halley nació en 1656 cerca de Londres. Hijo de un acaudalado comerciante, se educó en colegios privados de Londres y Oxford. Para observar el cielo austral, apenas con 20 años de edad, se embarcó para la isla de Santa Helena que se encuentra a 2.800 kilómetros al oeste de la costa de Angola (la misma isla en la que -debido a su inaccesibilidad- estaría prisionero Napoleón muchos años después). Halley fue el primer astrónomo que observó el cielo del Sur, por lo que mereció que Flamsteed se refiriese a él como el Tycho del Sur. En efecto, el objetivo de Halley era completar en el Hemisferio Sur el catálogo que el gran observador danés Tycho Brahe había confeccionado en el Norte. En 1678, poco después de su regreso a Londres, entró en la Royal Society. En 1704 ganó una plaza de catedrático de Geometría en Oxford.

Halley es uno de los mayores astrónomos de los siglos XVII y XVIII. Desarrolló un método para estimar con precisión la distancia de la Tierra al Sol utilizando los tránsitos de Venus. Identificó el movimiento propio de varias estrellas e impulsó la medida de su paralaje. También confeccionó el primer mapa geomagnético del globo. En 1720 sucedió a John Flamsteed en la dirección de Greenwich donde permaneció hasta su muerte -en 1742- a los 86 años de edad.

Citas: Princeps mathematicorum (El príncipe de los matemáticos)

[...] cuando el Barón Alexander von Humboldt, famoso viajero y amante de las ciencias, preguntó a Laplace quién era el matemático más grande de Alemania, Laplace replicó: "Pfaff ". “¿Y Gauss?", preguntó asombrado von Humboldt, quien apoyaba a éste para el cargo de Director del Observatorio de Göttingen. "Oh, dijo Laplace, Gauss es el matemático más grande del mundo"

Fuentes recomendadas en este blog

Disquisitiones Arithmeticae (versión española).
Reseña y contenido del Disquisitiones Arithmeticae.
Biografía de Carl F. Gauss.

Otras fuentes que le pueden interesar

Citas: Princeps mathematicorum(Alexander von Humbolt).

jueves, 22 de octubre de 2015

Historia del problema de los cuatro colores

Algunos de los problemas más famosos de las matemáticas surgen a partir de preguntas muy sencillas. El 23 de octubre de 1852, De Morgan escribía a Hamilton:

“Un estudiante me pidió que le diera un argumento sobre un hecho que yo ni siquiera sabía que era un hecho, ni lo sé aún ahora. El estudiante dice que si uno toma una figura (plana) cualquiera y la divide en compartimentos pintados con diferentes colores, de manera tal que dos adyacentes no tengan un color en común, entonces él sostiene que cuatro colores son suficientes”.

Había nacido el problema de los cuatro colores: probar que, dado un mapa cualquiera en el plano, cuatro colores bastaban para colorearlo de manera que países vecinos lleven colores distintos. Es un problema de enunciado sencillo y apariencia inofensiva, pero que se esconde numerosas sutilezas.


Su (agitada) historia


El estudiante al que se refería de Morgan era Frederick Guthrie (que acabaría dedicándose a la física y a la poesía), que le transmitía una observación hecha por su hermano menor, Francis (luego abogado, matemático y botanista), mientras se afanaba en colorear un mapa de Inglaterra. De Morgan, vivamente interesado por el problema, escribió inmediatamente a Hamilton pidiéndole su opinión. Preocupado por si la cuestión resultaba ser trivial, se justificaba (con cierta rotundidad): '

Carta de De Morgan a Hamilton, 1852

Cuanto más pienso sobre ello, más evidente me parece. Pero si usted me muestra algún caso sencillo que me haga quedar como un animal estúpido...

Son las desventajas de plantear preguntas tan aparentemente sencillas. La cuestión no pareció interesar especialmente a Hamilton, que le contestaría no es probable que pueda atender a su problema de los cuatro colores en un futuro próximo...

En 1879, Kempe (otro abogado y matemático) publicó una demostración del teorema de los cuatro colores CT4C), que parecía dar fin al joven problema. Hasta que Heawood, en 1890, mostró que la prueba de Kempe no era correcta (aunque sí bastaba para probar que cinco colores son suficientes).

No fue hasta 1976 cuando Appel y Haken (con la ayuda de Koch) publicaron, finalmente, la prueba completa del teorema

¿Y es realmente interesante?


Limitar el número de colores utilizados al confeccionar un mapa no parece especialmente relevante. 

Pero, aparte de razones psicológicas (una pregunta tan sencilla deviene en un magnífico desafío matemático), existen otras que justifican el interés del P4C: como en otros muchos problemas matemáticos clásicos, los métodos desarrollados para resolverlo han resultado ser, al menos, tan interesantes como el problema original.

El número mínimo de colores necesario para colorear un grafo G es su número cromático, X(G); y lo que afirma el T4C es que X(G) ≤ 4 para cualquier grafo G plano.

Pero calcular X(G) es un problema de optimización: buscamos la mejor manera de colorear.

Hay multitud de problemas interesantes que pueden ser descritos con el lenguaje de los grafos y los colores. Pensemos en la confección de horarios: tenemos una serie de asignaturas a las que queremos asignar horarios para ser impartidas.

Lo queremos hacer de manera que asignaturas que compartan alumnos no sean programadas a la misma hora. Podemos describir la información relevante con un grafo: las asignaturas son los vértices y las incompatibilidades, las aristas. Las distintas horas de que disponemos son los colores, y confeccionar un horario no es sino dar una coloración del grafo. Optimizar este proceso (colorear el grafo con el mínimo número de colores posible) debería ser nuestro objetivo.

Es uno de los teoremas más famosos dentro de la Teoría de Grafos,  fue el primer teorema que
se demostró usando ordenadores y que, por lo tanto, sirvió una gran polémica al respecto.

¿Está probado o no el T4C?


La demostración de Appel y Haken resultó polémica desde el primer momento.

Especialmente, porque requería un uso abundante del ordenador para verificar la inevitabilidad (y la reducibilidad) del conjunto de 1476 configuraciones a las que reducían el problema. En realidad, una objeción todavía mayor que se podía plantear a esta demostración es que la parte de matemáticas tradicionales tampoco era fácil de verificar. 

En 1996 se propuso una prueba alternativa que resulta más legible. Pero, a pesar de reducir a 633 el número de configuraciones, sigue requiriendo el uso del ordenador para su comprobación.

En 1998, Hales anunció la prueba de otro problema clásico, el problema de Kepler: ¿cuál es la manera más eficiente de apilar esferas en el espacio? La conjetura afirmaba que la mejor forma de hacerlo es la que cualquiera seguiría al apilar naranjas en una caja. Este problema tiene bastantes similitudes con el P4C: ambos tienen planteamientos sencillos, han conocido muchos intentos infructuosos por resolverlos, han dado lugar a técnicas matemáticas interesantes... y la demostración final requiere el uso del ordenador para verificar un conjunto finito de configuraciones.

Y la pregunta, por supuesto, es si una demostración de esas características es aceptable. Tanto en el T4C como en el problema de Kepler, cualquiera puede verificar la corrección del programa que realiza los cálculos (o diseñar el suyo propio).

Y estos programas se han compilado y ejecutado en distintos ordenadores y plataformas.

Aun así, siempre queda la duda, ¿no? Pero dado el espectacular papel que empieza a desempeñar el ordenador en estos menesteres... quizás es hora de cambiar nuestra concepción tradicional de demostración matemática.
Fuentes para profundizar

La imagen es de la profesora Clara Grima, en sus "Mati y sus aventuras" 
Titulado: Dame 4 colores y pintaré el mundo.

Derivada de una función par

Proposición: La derivada de una función par [diferenciable], es una función impar.

Demostración: Suponga que es una función par diferenciable. Considere la función

a(x) = \frac {f(x) + f(-x)}{2}

Primero mostraremos que . Como es par, tenemos

f(x) = f(-x).

Por consiguiente, a(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x).

Ahora, vamos a derivar . Tenemos

f'(x) = a'(x) = \frac{(f(x)+f(-x))'}{2} = \frac{f'(x) - f'(-x)}{2}

donde el último paso se sigue de la regla de la cadena.

Y como
f'(-x) = a'(-x) = \frac{f'(-x) -f'(x)}{2} = -\frac{(-f'(-x)+f'(x))}{2} = -a'(x) = -f'(x)

vemos que la derivada de es una función impar.

De "La Aventura del saber"

"El Universo es un libro escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible comprender una sola palabra; sin ellos sólo se conseguirá vagar por un obscuro laberinto"

Aunque la frase pueda parecer un poco excesiva, Galileo Galilei tenía, como en tantas otras cosas, muchísima razón. Desde la época en que vivió, principios del siglo XVII, las matemáticas han el instrumento ideal para entender y explicar un sin fin de fenómenos naturales.

Isaac Newton, que por esas coincidencias de la Historia nació el mismo año que murió Galileo, gracias a las Matemáticas no sólo demostró que Galileo tenía razón, sino que explicó matemáticamente las leyes que rigen el movimiento de todos los cuerpos del sistema solar. Uno de los tripulantes del Apolo XI en su vuelo a la Luna realizó el siguiente comentario al abandonar la órbita terrestre: "Ahora es Newton quien nos conduce"

Desde entonces, no sólo en la Física, sino en la práctica totalidad de las ciencias, - Biología, Medicina, Economía, Sociología, ...- las matemáticas se han demostrado como un instrumento imprescindible en el esfuerzo de la Humanidad por comprender y explicar el mundo que nos rodea.

Pero las Matemáticas no sólo contribuyen a explicar el Universo en el que vivimos, sino que lo hacen más confortable. Desde el simple hecho de encender una luz, hasta fotografiar la superficie de Júpiter a unos cientos de kilómetros, pasando por calentar la comida en el microondas, hablar por teléfono, ver este programa en su pantalla de televisión, entre otros, todo ello sería impensable sin el soporte que las Matemáticas han proporcionado a físicos, ingenieros, técnicos y especialistas de los más variados campos.

Nuestra intención (de los matemáticos) no es sumergirnos en un océano de fórmulas, ecuaciones, logaritmos y otros tecnicismos que seguramente a muchos les traen recuerdos no demasiado gratos. Nuestro objetivo es menos pretencioso: sólo pretendemos que usted descubra con nosotros que las Matemáticas están ahí, presentes en las más insospechadas manifestaciones de nuestra vida cotidiana. Que esa planta que tenemos en casa crece siguiendo pautas matemáticas, que los animales crecen, se desarrollan y hasta se mueven ajustándose a leyes matemáticas, que la cenefa de su cuarto de baño, ha sido creada según movimientos geométricos, que cada vez que arrancamos nuestro coche, el cuenta-kilómetros está realizando sus cálculos gracias al número pi [...] y que hasta el azar, esos fenómenos impredecibles resultan que no lo son tanto si los miramos con ojos matemáticos.

Ojos matemáticos, esa es nuestra idea. Proporcionarles, de manera amena y sencilla unas gafas, que al igual que las lentes de infrarrojos nos permiten ver en la noche, nos faciliten la visión de todos los procesos matemáticos que diariamente se producen a nuestro alrededor. Unas gafas que no se compran en ningún sitio porque están en nuestro cerebro y que como decía Galileo, nos van a permitir, si no salir del laberinto, sí al menos saber en que punto del mismo nos encontramos.


Fuentes relacionadas en este blog

Los problemas abiertos.
La puerta equivocada (de Adrián Paenza).
El problema de los matemático (sobre el UTF).
Un nombre extraño: Galileo Galilei, de The Renaissance Mathematicus.

Otras fuentes que le pueden interesar

Matemáticas con Los Simpson.
Grandes historias en la ciencia que nunca ocurrieron.