Un día como hoy, pero de 1854, G.F. Bernhard Riemann propone que el espacio es curvo. Y propone geometrías más allá de las Euclidianas.
Posté par James Tesen Garay sur mardi 9 juin 2015
El 10 de junio de 1854 Bernhard Riemann impartió una lección inaugural para obtener la categoría de Privatdozent por la Universidad de Gotinga (Alemania), la meca de las matemáticas de los siglos XIX y XX.
En el sistema suizo-alemán, un Privatdozent es una persona autorizada a impartir docencia universitaria. Para conseguir la habilitación, los aspirantes en Gotinga debían escribir una memoria con los resultados de su investigación e impartir una lección frente a un tribunal de profesores.
El tema de la tesis de habilitación de Riemann era sobre la representación de funciones por series trigonométricas, un tema ‘clásico’ en análisis matemático y que Riemann quería aplicar a resolver problemas de física. Riemann trabajó en este tema durante 30 meses, teniendo lista la memoria en otoño de 1853.
Por otro lado, los candidatos debían proponer tres temas para exponer en la lección inaugural. Los tres temas que Riemann propuso fueron (por este orden):
- 1. Representabilidad de una función mediante series trigonométricas.
- 2. Resolución de dos ecuaciones de segundo grado con dos cantidades indeterminadas.
- 3. Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría.
Habitualmente el tribunal solía elegir el primer tema propuesto por el candidato. Sin embargo, Gauss, presidente del tribunal (y también su tutor de tesis doctoral además de su principal mentor), eligió el tercer tema, el que menos preparado tenía. Riemann tuvo que trabajar muy duro durante varios meses, intuyendo que Gauss tenía sus propias ideas sobre el tema y que se discutirían en la lección inaugural.
El texto que Riemann presentó al tribunal esta considerado
como una obra maestra tanto por su redacción, simple y sin demasiados abalorios algebraicos
(apenas aparecen fórmulas), como por la profundidad de sus ideas. Riemann puso particular
empeño en que la lección fuera inteligible para cualquier miembro del tribunal, no siendo
necesario ser matemático ni poseer grandes conocimientos.
Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría
La conferencia consistió en dos partes. En primer lugar, la cuestión de cómo podemos definir un espacio n -dimensional y terminó dando la definición de lo que hoy llamamos espacio riemanniano, incluyendo el tensor de Riemann. Esto sentó las bases para el campo de la geometría de Riemann.
Para la segunda parte de su conferencia, Riemann planteó profundas preguntas acerca de la relación entre la geometría y el mundo en que vivimos. Preguntó lo que es la dimensión del espacio real y qué geometría lo describe. La plática fue demasiado avanzada en su época para ser apreciada por la mayoría de los científicos de entonces, de hecho sólo Gauss apreciaba plenamente su profundidad
En esta investigación, Riemann generalizó los trabajos de Gauss sobre geometría no-euclídea, extendiéndola a espacios multidimensionales, que denominó variedades. El texto mencionado está considerado como un modelo de exposición sencilla de un tema complejo (un área nueva de matemáticas), de manera que todo matemático de formación “normal” lo pudiese entender. Por esto, dicha ponencia es considerada el trabajo de habilitación más importante de la historia de las matemáticas.
Posteriormente, cuando los matemáticos estudiaron estas nuevas geometrías, se interpretaron como ‘geometrías geodésicas’ (los caminos más cortos) en superficies curvas. Si la superficie tiene curvatura positiva constante, como en la esfera, la geometría se llama elíptica. Si la curvatura es constante y negativa (con la forma de una silla de montar cerca de cualquier punto) la geometría es hiperbólica. La geometría euclídea es la que tiene curvatura nula (es decir, plana).
Lo que hizo Riemann en su habilitación fue generalizar las geometrías euclídeas en espacios multidimensionales. Por esta razón, se le puede considerar el fundador de una nueva geometría.
La idea de Riemann al establecer esta nueva geometría podría explicar la base física del universo. Riemann pensaba que las diferentes fuerzas físicas de la naturaleza (gravitatoria, eléctrica y magnética, las conocidas en su época) eran, en realidad, diferencias en la geometría del universo.
Estas ideas son la base de la explicación de la gravedad en la teoría de la relatividad general y fueron una de las inspiraciones de Einstein.
Aunque esta única aportación de Riemann le hubiese hecho merecedor de un puesto destacado en el panteón de la ciencia; hay que recordar que en sus pocos más de 39 años de vida, Riemann trabajó en prácticamente todas las áreas de las matemáticas conocidas en la época, haciendo contribuciones notables en geometría diferencial, geometría no-euclidea, fundamentos del cálculo integral y del análisis matemático, ecuaciones diferenciales, teoría de números, topología y series trigonométricas.
Sin duda, Riemann es un gigante de la ciencia.
Comentario
Podemos decir que posiblemente se trate de una de las mejores y más profundas lecciones científicas presentadas en la historia de la Ciencia. Versa sobre los fundamentos de la Geometría, en ella generaliza la Geometría de los griegos, aquella que Euclides sintetizó en sus Elementos. Su contribución es tan importante que la unificación de todas las Geometrías se conoce hoy en día como Geometría de Riemann y es básica para la comprender la Teoría de la Relatividad.
Fuentes relacionadas:
- Riemann, Bernhard (Instituto de Matemáticas UNAM).
- Riemann cambia la vision de nuestro universo.
- Los fundamentos geométricos de Albert Einstein en Bernhard Riemann.
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