¿A quién le pertenece una idea matemática? Por ejemplo: ¿es de Pascal el triángulo de Pascal?. Acompáñene a un breve recorrido en la historia de una de las joyas mas preciadas en las matemáticas: El triángulo de Pascal y descubra, junto conmigo, algunas de sus propiedades.
El Triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal es un arreglo triangular especial de números usados en muchas áreas de las matemáticas. Fue llamado así debido a los trabajos que realizó sobre ello el matemático francés Blaise Pascal, quien en 1653 publicó "Tratado sobre el triángulo aritmético" en donde desarrollo muchas de las propiedades de este triángulo.
¿Qué es este triángulo formado por números que parecen elegidos en forma caótica? Mírelo un rato, entreténgase con el triángulo y trate de descubrir leyes o patrones. Es decir, ¿estarán puestos los números al azar? ¿Habrá alguna relación entre ellos? Si bien uno advierte que hay un montón de números uno (de hecho, hay unos en los dos costados del triángulo), ¿cómo habrán hecho para construirlo?.
Como se imaginará, el triángulo podría seguir. En este caso escribí sólo una parte de él. Es más: en cuanto descubra efectivamente cómo se arma, estoy seguro de que podrá completar la fila siguiente (y seguir con más, si no tiene nada que hacer).
Llegar a ese punto será sólo una parte, importante por cierto, porque es algo así como un juego (de todas formas, nadie dijo que está mal jugar, ¿no?); sin embargo, lo interesante va a ser mostrar que este triángulo, ingenuo como lo ve, tiene en realidad múltiples aplicaciones, y los números que figuran en él sirven para resolver algunos problemas.
Sabías que: El nombre de este triángulo (de Pascal) varía mucho en todo el mundo. De hecho, aunque los franceses lo llaman el triángulo de Pascal, en la China lo conocen como el triángulo de Yang Hui, y los italianos lo llaman el triángulo de Tartaglia, hoy en día podemos encontrar otras denominaciones como el Triángulo de Tartaglia-Pascal o simplemente Triángulo Aritmético o Triángulo Combinatorio.
Construcción del triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3).
Y así sucesivamente: en los extremos un 1 a cada lado y en las posiciones intermedias colocamos la suma de los números de arriba. El elemento primero y último de cada una siempre será el número 1, y cada elemento interior será el número resultado de sumar los dos elementos que se sitúan encima de él y adyacentes en la fila superior.
Este proceso se repite para producir cada fila subsiguiente.
Patrones en el triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal presenta una infinidad de aplicaciones en álgebra. Su importancia radica en que en si mismo constituye un universo matemático que esconde una diversidad de propiedades y curiosidades de inmensa utilidad en el campo numérico y en los cálculos probabilísticos. Lo que voy a presentar es solamente algunos (muy pocos) secretos que contiene este triángulo. Sígame:
El binomio de Newton: Los coeficientes de la forma desarrollada de (x+y)n se encuentran en la fila «n» del Triángulo de Pascal. Por ejemplo la FILA 4 contendrá todos coeficientes de su expansión polinomial, así:
El "stick de hockey": Cualquier diagonal que empiece en un extremo del triángulo, y de la longitud que sea, cumple la siguiente propiedad: La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria. Con este dibujo se entenderá mejor:
El Fractal de Sierpinski: Si nos fijamos en el triángulo de Pascal y coloreamos todos los números impares el triángulo de Pascal cumple el mismo patrón que el triángulo de Sierpinski. De esta forma:
Sorprendente ¿verdad?, esta relación que tienen los dos triángulos, cuando uno de ellos se construye aritméticamente y el otro geométricamente.
Es un descubrimiento que pone de manifiesto la conexión entre diferentes materias de las matemáticas donde la repetición de patrones y armonía son habituales.
Los Pétalos de Pascal: Observe la celda gris junto con las otras seis celdas (naranja y amarillas). Estas seis celdas componen los "pétalos de Pascal". Ahora verifique que el producto de las celdas amarilla coincide con el producto de las celdas naranja.
Ahora usted compruebe con cualquier celda gris (y forme los pétalos de Pascal).
Explorando el triángulo de Pascal, en mathforum.org.
Los números de Catalán: El profesor Tony Foster en su página de Facebook: Cut The Knot Math ha mostrado como podemos obtener estos números, gráficamente así:
El producto de los números en los pétalos de color amarillo: 5 x 20 x 21 = 2100.
El producto de los números en los pétalos de color naranja:6 x 10 x 35 = 2100.
Ahora usted compruebe con cualquier celda gris (y forme los pétalos de Pascal).
Explorando el triángulo de Pascal, en mathforum.org.
Los números de Catalán: El profesor Tony Foster en su página de Facebook: Cut The Knot Math ha mostrado como podemos obtener estos números, gráficamente así:
Mas detalles en su propia página Cut The Knot Math.
El número e: Recientemente en el 2012 Harlan J. Brothers, publicó un artículo donde se descubre la relación que existe entre el número e y el triángulo de Pascal.
El número e: Recientemente en el 2012 Harlan J. Brothers, publicó un artículo donde se descubre la relación que existe entre el número e y el triángulo de Pascal.
La publicación original puedes verla en este artículo (pág. 51).
Por favor sígame ahora para juntos poder encontrar el número e, lo que primero haremos es dividir cada resultado obtenido al multiplicar entre el obtenido en la fila anterior. Obteniendo así los siguientes valores:
{1, 2, 4'5, 10'666, ..., 26'0417, 64'8}
Y ahora volvamos a dividir cada uno de los resultados de esa lista entre el anterior. Llegamos a los siguientes datos:
{2, 2'25, 2'370370, ..., 2'44140625, 2'48832}
Oiga, pues parece que después de comenzar en 2 los números van subiendo poco a poco. Si avanzamos un poco, por ejemplo por la zona del n = 100, el dato de la lista sería ya 2'71692, que ya está más cerca del número e = 2'71818281..., ¿verdad?.
De hecho, cuando n tiende hacia el infinito, este valor converge hacia el número e.
(Original: Ver mas detalles en el blog de Miguel Ángel).
(Original: Ver mas detalles en el blog de Miguel Ángel).
Las potencias de dos, las potencias de once, los cuadrados perfectos, los números triangulares, la sucesión Fibonacci, el número Pi, entre tantas relaciones que existen con el triángulo de Pascal, que me he quedado corto mis amigos. Pero les voy a dejar enlaces para que profundicen sobre lo mencionado. Y también un video:
Los secretos matemáticos del triángulo de Pascal —Wajdi Mohamed Ratemi (TED)
El triángulo de Pascal, que en un principio puede parecer simplemente una pila de números bien ordenados, es en realidad un tesoro matemático. Mohamed Wajdi Ratemi muestra cómo el triángulo de Pascal está llena de patrones y secretos.
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| El Triángulo de Pascal: Captura del Youtube.com (subtítulos en español) |
Haga clic en la imagen para verlo desde la plataforma original.
Fuentes para profundizar
Un poco sobre la historia puedes encontrar en:
El triángulo de Pascal (Wikipedia. Anexo: Historia).
Recomiendo las tres entradas relacionadas en Gaussianos.com.
Las imágenes las he sacado de Pascal's Triangle.
Información en la página de Cut The Knot Math.
Sobre los números en el triángulo de Pascal. Ver.
Impress your friends. 3003 is the only number currently known to appear exactly 8 times in Pascal's triangle. pic.twitter.com/IyfcWBsdiP— Cliff Pickover (@pickover) 19 de abril de 2016
Anexo (La Apuesta de Pascal)
La apuesta de Pascal es un argumento creado por Blaise Pascal en una discusión sobre la creencia en la existencia de Dios, basado en el supuesto de que la existencia de Dios es una cuestión de azar. Extracto:
Vamos a pesar la ganancia y la pérdida, eligiendo cruz (de cara o cruz) para el hecho de que Dios existe. Estimemos estos dos casos: si usted gana, usted gana todo; si usted pierde, usted no pierde nada. Apueste usted que Él existe, sin titubear”.
Blaise Pascal (1670). Pensamientos. III, §233
¿Qué significa "ganar todo" o "no pierde nada"?. Un interesante campo la Teoría de juegos.
Seguir leyendo y ver las conclusiones en Apuesta Pascal (Wikipedia).
