La noche interminable de Evariste Galois

La última noche E. Galois se dedicó a escribir su teoría que lo haría inmortal: Teoría de Galois

Aunque no se conocen con exactitud los detalles que rodean la muerte de Galois, parece que no murió por su carácter rebelde, antieclesiástico y antimonárquico. No. Eso le sirvió para ser expulsado de la École Normale Supérieure y para pasar unos mesesitos a la sombra. Galois murió en un duelo, todo muy romántico como corresponde a un buen matemático, al que asistió una mañana de mayo de 1832, sabiendo que iba a morir, puesto que, según parece, enfrente estaría un oficial, republicano como él, con fama de ser un gran tirador. Pobre Évariste… ¿Fue un duelo por amor? Tampoco se puede afirmar con rotundidad porque aquella noche, consciente de que era su última noche, Galois escribió tres cartas. En una de ellas, a dos amigos suyos:

París, 29 de mayo de 1832 

Mis buenos amigos, 

He sido provocado por dos patriotas. … Me ha sido imposible rehusarme. Les pido perdón por no haberles advertido a ninguno de ustedes. Pero mis adversarios me hicieron prometer por mi honor el no prevenir a ningún patriota. Su tarea es muy simple: demostrar que me he batido a pesar de mí es decir, después de haber agotado todos los medios que cabían, y decir si soy capaz de mentir, mentir, incluso por las cosas más triviales. 

Guarden mi recuerdo, ya que la suerte no me ha dado suficiente vida para que la patria sepa mi nombre. 

Muero, su amigo, 

E. GALOIS

Esto podría inducir a pensar que fueron motivos simplemente políticos los que llevaron al joven matemático francés aquella mañana al estanque cercano a la Rue de la Glacière a encontrar la muerte. Pero en otra de las cartas que escribió, ésta a sus compañeros republicanos, el joven Galois decía:

París, 29 de mayo de 1832 

Ruego a los patriotas, amigos míos no me reprochen por morir de otra manera que por el país. Muero víctima de una infame coqueta y dos incautos. Es dentro de una calumnia insignificante que se extingue mi vida. 

¡Oh! ¡Por qué morir por tan poca cosa, morir por algo tan despreciable! 

Pongo al cielo por testigo de que fue constreñido y forzado que cedí a una provocación que traté de evitar por todos los medios. 

Me arrepiento de haber dicho una verdad odiosa a hombres tan poco capaces de escucharla con serenidad. 

Pero al final dije la verdad. Llevo a la tumba una conciencia libre de mentira, libre de sangre patriota. 

Me hubiera gustado dar mi vida por el bien público. 

Perdón para aquellos que me mataron, son de buena fe. 

E. Galois

Esa infame coqueta, según se ha podido descubrir a partir de unas cartas encontradas a Galois, pudo ser Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, hija del médico que regentaba la pensión en la que se alojaba nuestro protagonista. Hay quien señala que ella tenía novio y que fue su novio el oficial que acabó con la vida de Évariste…¿quién sabe? No es pequeña la controversia alrededor de la muerte de este matemático rebelde y romántico.

Pero había una tercera carta que es la responsable de que hoy estemos hablando de Évariste Galois, la carta que escribió a Will-Auguste Chevalier, pidiéndole que mostrase sus trabajos a Gauss y Jacobi, los únicos matemáticos que según Galois podrían entenderlos, una carta testamento que daría lugar a la Teoría de Galois.

Las ecuaciones hasta grado cuarto se sabían resolver desde el siglo XVI, pero las de grado cinco o superior se resistían. Hasta 1824, en este año, Abel demostró que existen ecuaciones de grado mayor o igual a cinco que no se podían resolver mediante una fórmula que envolviera a los coeficientes de la ecuación ligados por operaciones algebraicas como suma, producto, división o raíces (de cualquier grado), lo que técnicamente se conoce resolver una ecuación por radicales. Sin embargo, otras ecuaciones sí que podían ser resueltas por ese método. Aquí es donde aparece la teoría de Galois que consigue, entre otras cosas, determinar exactamente qué ecuaciones pueden ser resueltas por radicales.

Dentro de la teoría de ecuaciones, he investigado bajo qué condiciones las ecuaciones son resolubles por radicales: esto me ha da dado la ocasión de profundizar esta teoría y de describir todas las transformaciones sobre una ecuación, aún si no es soluble por radicales.  

Carta de E. Galois a su amigo Chevalier

Se refiere a otros radicales, no a los jóvenes que como él se revelaban contra la autoridad ante la injusticia…

Pero la teoría de Galois también puede ser utilizada para determinar qué construcciones pueden ser llevadas a cabo con regla y compás: un problema de geometría que se remonta a la Grecia clásica. Por ejemplo, con la teoría de Galois se puede probar que el problema de la trisección del ángulo (dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales) no puede resolverse usando sólo regla y compás.

De mis tiempos de estudiante en la facultad de Matemáticas recuerdo el comentario jocoso, y con mucha mala leche, de “menos mal que lo mataron, si no, no aprobaríamos nunca la teoría de grupos” Evidentemente, entonces y ahora, lamento la muerte de este ilustre matemático que con 20 años ya fue capaz de elaborar toda una teoría con tanta trascendencia en las Matemáticas, la Física, la Informática… Pero también en estos días, no puedo evitar añorar el espíritu revolucionario y la valentía de aquel estudiante que participó activamente en la revolución de su pueblo contra un gobierno de unos pocos que les oprimía.

Évariste Galois, escribió esto en la noche antes de morir:

Después de esto habrá, espero, gentes que encontrarán provechoso descifrar todo este lío.

Él hablaba de ecuaciones…

¿Y cómo terminó todo?, los momentos finales de Galois

Al amanecer del 30 de mayo de 1832, Galois acudió infelizmente al llamado "campo del honor". Duelo a pistola a veinticinco pasos. Un certero disparo de su adversario le hirió en el vientre. No habían llevado médico y lo dejaron tendido en el suelo. A las nueve de la mañana un campesino, que pasaba por allí, avisó al Hospital Cochin (hoy 27, rue du Faubourg-Saint-Jacques en París), a donde fue trasladado. Viendo los facultativos su fin inmediato, los médicos le aconsejaron que recibiera los auxilios espirituales. Galois se negó. Es probable que en aquel momento se acordara de su padre. Su hermano Alfred, único familiar que fue avisado, llegó con lágrimas en los ojos, y Galois le dijo con gran entereza: 

No llores, necesito de todo mi coraje para morir a los veinte años.

Al día siguiente, el 31 de mayo de 1832, se declaró la peritonitis y murió a las diez en punto de la mañana, siendo enterrado en la fosa común del cementerio del Sur. Sus restos se han perdido, pero su pensamiento permanece fresco entre todos los aprendices de matemáticas en el mundo.

Corto: La insólita historia de Evariste Galois

Bien amigos, agradeciendo por su gentil lectura, les voy a compartir esta bella animación que nos narra los momentos más importantes de la vida de Évariste Galois, el genio matemático francés con una vida que rebasa la ficción de muchas novelas.

Fuentes recogidas

Este artículo es un extracto original de Clara Grina, en 20Minutos. Ver original.

Fuentes recomendadas.

Evariste Galois, el James Dean de la matemática del blog de @emulenews.

Mi última entrada Un héroe trágico de la matemática moderna.

[VIDEO] El poder de las Historias.

E. Galois y sus trabajos publicados antes de morir. (UNAM)

De todo el mar de asignaturas de la carrera de matemáticas: Álgebra, Análisis, Estadística, Topología, había una, solo una, que tiene nombre propio: Teoría de Galois. Qué fue lo que escribió la última noche este muchacho, para que todos los aprendices de matemáticas en todo el mundo lo estudiemos hoy, a los 20 años. Acompáñalo en su última noche junto a Eduardo Sáenz.

Ver vídeo: "El poder de las historias" de Eduardo Sáenz en TEDxRiodelaPlataED

Un héroe trágico de la matemática moderna

Aquiles, héroe entre los héroes, tuvo que elegir entre vivir mucho y morir en las sombras, o vivir poco, pero que su nombre se volviera inmortal. Tal vez el nombre de Evaristo Galois habría sido inmortal, incluso si hubiese vivido mucho. Pero su destino fue revolucionar la matemática a los veinte años. Fue todo lo que vivió, antes de morir a manos de la extrema derecha francesa de su época.

En Francia, en 1832, la militancia republicana era tan peligrosa como lo era, recibir el mote de “subversivo”. Los conservadores no querían otra revolución. Matarían a quien fuese para evitarla. Galois era un genio entre los genios. Y un republicano furioso. Tan furioso como el Aquiles de Homero. La posición ética de honrar aquello en lo que creía estuvo siempre, en él, por encima de todo riesgo.

Recién a los 15 años tomó Galois contacto con la matemática, en el Liceo Louis le Grand de París. Pero la matemática del Liceo le quedó chica. En pocos meses comenzó a estudiar los textos más avanzados de su época. Así fue como conoció el álgebra, y los problemas que los matemáticos aún no habían podido resolver.

Antes de los 17 trató de ingresar en la Ecole Polytechnique, y fue rechazado. Un profesor, viendo su genialidad, apeló la decisión. Pero los rígidos cuadrados de la Ecole no le hicieron caso. Por supuesto, esto no amilanó a Galois. Todavía en el Liceo (lo que hoy sería un secundario), publicó su primer trabajo innovador. Y logró resolver un problema que habían encarado los mejores matemáticos del mundo, sin éxito, durante más de un siglo. Era sólo el comienzo. Galois tenía 18 años cuando comenzó a crear la teoría que revolucionó la matemática. Lo que llamamos teoría de grupos. Temas que, en la segunda mitad del siglo XX, se dieron en llamar (en el nivel secundario) “matemática moderna”. Y que nacieron de la mente de un joven que apenas tendría hoy la edad para estar terminando la secundaria.

E. Galois: "Es preciso agregar algo a esta demostración. Yo no tengo tiempo."

La mente de Galois era, sin duda, tan rápida como los pies de Aquiles. Pero fue rechazado, por segunda vez, de la Ecole Polytechnique. E ingresó en la (por entonces) menos prestigiosa Ecole Normale. Al mismo tiempo, la Academia de Ciencias francesa evaluaba ya sus trabajos sobre la teoría de grupos. Para que haya un héroe, tiene que haber un villano. El villano fue Cauchy. Un matemático tan eficaz como acomodaticio, que recuerda a esos que cambian de bando con facilidad y “olvidan” que habían participado en el bando opuesto hasta poco tiempo atrás. Cauchy era un tecnócrata del poder de turno. El pequeño Galois le quedaba grande.

Mientras sus trabajos eran evaluados, Galois participó, activamente, en la Revolución de 1830. Cayó el rey Carlos X, pero la monarquía sobrevivió, con el menos absolutista rey Luis Felipe.

La Academia rechazó los trabajos de Galois. Su presentación se “perdió” en un cajón. Hay quien sugiere (acaso sin pruebas) que fue Cauchy quien ocultó esos papeles, que reaparecieron luego de su muerte.

A los 19 años, en 1831, Galois fue encarcelado por la monarquía. Se dice que, en una cena, blandió un enorme cuchillo y propuso un brindis: “Para Luis Felipe”. Liberado tras un mes, volvió a ser detenido, esta vez por ocho meses.

En ese año turbulento de su vida, Galois había redondeado muchos temas de su teoría. Pero la Academia volvió a rechazar sus presentaciones. Con o sin Cauchy, los resultados de Galois eran tal vez muy avanzados para esa época. Lo que ocurrió después parece sacado de Stendhal. O de Borges. Liberado el 29 de mayo de 1832, Galois se acomodó, tranquilamente, en un café. Una joven se le acercó y comenzaron a charlar. Un hombre la insultó. Galois creía en el honor: siguiendo los códigos de ese tiempo, lo retó a duelo. Era una trampa. Acaso la joven fue parte de ella. El ofensor era nada menos que el campeón de esgrima del ejército francés. No podía ser un duelo sino un modo prolijo de asesinar a Galois, un peligroso republicano.

Esa noche, del 29 al 30 de mayo, se recuerda como una de las más heroicas en la historia de la ciencia. Sabiendo que le quedaban pocas horas de vida, Galois no durmió. Se dedicó a describir todas las implicancias de su trabajo, con el mayor detalle que pudo. Algunos teoremas que postuló no llegó siquiera a demostrarlos. “No me queda tiempo”, se lee, en pasajes desesperados de esos manuscritos. Ya otros probarían los teoremas por él.

En la madrugada del 30 de mayo, Galois fue a la muerte. Herido por el sicario, falleció al día siguiente. Cayó por su ideal de una revolución republicana, no sin antes hacer su propia revolución en la matemática.

Sus manuscritos fueron publicados mucho después. Las consecuencias de su teoría llegan hasta hoy. Murió joven, y se volvió inmortal. Como Aquiles. Su hermano, Alfredo, lloraba. Las últimas palabras de Galois fueron: “No llores. Necesito todo mi valor para morir a los veinte años”.

*Autor: Computador científico. Doctor en Psicología. Director Editorial de Intersecciones Psi.

Fuentes originales

Un artículo original de * Gabriel Guralnik. Ver.
La última noche de E. Galois. (Testamento matemático).

Una mente...  Biografía de E. Galois.

Fuentes para profundizar

Galois, Evariste de Carlos Pietro de Castro (UNAM).

Los Matemáticos también mueren II. -Cuaderno de Cultura Científica.

Artículo: Galois memoir on the solvability of equations.
E. Galois y sus trabajos publicados antes de morir. (UNAM)

Fuentes en relacionadas en este blog

(29-30 mayo) La noche interminable de Evariste Galois. (Correspondencias).
El poder de las Historias (vídeo).

¿Realmente W. Shakespeare escribió sus obras?

Algunas personas se preguntan si realmente William Shakespeare escribió las obras que llevan su nombre - o si existiera en absoluto -. ¿Podría ser cierto que el más grande escritor en el idioma Inglés es tan ficticio como sus obras?. Natalya St. Clair y Aaron Williams muestran como una herramienta lingüística llamada estilometría podría arrojar luz sobre la respuesta. 

Cómo podemos usar las matemáticas para resolver este misterio:

Fuentes de este video

TEDEd Lessons Worth Sharing

La verdadera historia detrás del ¡Eureka!

Cuando usted piensa en el momento ¡Eureka! de Arquímedes, es probable que se imagine a un hombre en una bañera, ¿verdad?. Como resultado, hay mucho más para esta historia. Armand D'Angour nos relata la historia de la mayor asignación de Arquímedes - un enorme palacio flotante encargado por un rey - que le ayudó a encontrar Eureka.

Fuentes de este video

TEDEd Lessons Worth Sharing.

Fuentes relacionadas en este blog

Breve biografía de Arquímedes.
El principio de Arquímedes. Eureka.

El nacimiento de la Tomografía axial computarizada (J. Radon)

Los fundamentos matemáticos de la Tomografía axial computarizada (TAC), fueron establecidos en el año 1917 por el matemático austriaco Johann K. Radon, quien probó que era posible reconstruir un objeto bidimensional o tridimensional, a partir de un conjunto de infinitas proyecciones. 

En 1963, el físico A. M. Cormack indicó la utilización práctica de los resultados de Radón para aplicaciones en medicina. Nacía así la llamada tomografía computada.

El primer aparato de TAC, fue producido en la compañía disquera EMI (Electric and Musical Industries). En el año 1955 decidió diversificarse y con tal fin, instaló un Laboratorio Central de Investigación, para reunir científicos abocados a proponer proyectos interesantes en diversos campos, que permitieran generar nuevas fuentes de ingreso. Su creador y desarrollador fue el Ingeniero Goodfrey N.Hounsfield, Premio Nóbel en Medicina en 1979 “por el desarrollo de la tomografía asistida por computadoras”, entró a trabajar en 1951 a EMI y en 1967 propuso la construcción del escáner EMI, que fue la base de la técnica para desarrollar la TAC, como una máquina que unía el cálculo electrónico a las técnicas de rayos X con el siguiente fin: Crear una imagen tridimensional de un objeto, tomando múltiples mediciones del mismo con rayos X desde diferentes ángulos y utilizar una computadora que permita reconstruirla a partir de cientos de "planos" superpuestos y entrecruzados. 

La TC se constituyó como el mayor avance en radiodiagnóstico desde el descubrimiento de los rayos X. Su introducción al mercado de Estados Unidos en 1972, en aquellos tiempos cada corte o giro del tubo emisor de radiación requería 4 minutos y medio para realizarse, además de los 60 segundos indispensables para reconstruir la imagen. A medida que se hacían más rápidos y presentaban mejor resolución, los tomógrafos fueron pasando por distintas generaciones. Finalmente aparecieron los tomógrafos multicorte con multidetectores y actualmente, los tomógrafos helicoidales, en los que el giro del tubo emisor es continuo, permitiendo hacer cortes y disparos simultáneos en diferentes ángulos, con lo cual se evita la discontinuidad entre cortes, reduce el tiempo de exposición, utiliza menos líquido de contraste y facilita la reconstrucción tridimensional de imágenes. 

El escáner de tomografía computarizada significó una auténtica revolución en el campo de la radiología, ya que se basa en el enfoque de un haz de rayos X colimado sobre el paciente, donde la radiación remanente atenuada es medida por un detector cuya respuesta se transmite a un ordenador. El ordenador analiza la señal del detector, reconstruye la imagen y la presenta en un monitor de televisión. Después se fotografía la imagen para su posterior evaluación y archivo. Mediante ecuaciones matemáticas (algoritmos) adaptadas al procesamiento informático se efectúa una reconstrucción por ordenador de vistas transversales de la región anatómica de interés.

En 1917 Johann #Radon mostró matemáticamente cómo determinar una función de dos variables a partir de sus integrales de línea. (sigue)

— Jamessi (@jamessi_) 16 de diciembre de 2014

i.e: #Radon probó que era posible reconstruir un objeto bidimensional o tridimensional, a partir de un conjunto de infinitas proyecciones.

— Jamessi (@jamessi_) 16 de diciembre de 2014

Campanas en el cielo nocturno

Hacer clic en la imagen para ver el video original en El Mundo

Trayectoria de las etrellas fijas

Si se observa el cielo en una noche despejada durante cierto tiempo, se puede observar que las estrellas no permanecen quietas. Salen por el este y se ponen de nuevo por el oeste. En tiempos remotos, los humanos concluyeron a partir de este hecho que la bóveda visible de los cielos formaba en sí misma una especie de bola hueca bajo el disco celeste, desde el cual los cuerpos celestes se elevan y se vuelven a poner.

Como las estrellas, salvo algunas excepciones, no cambian ni su posición ni su luminosidad relativa, se pensó que las estrellas estaban fijas a este balón y por lo tanto se les dio el nombre latino: “stellae fixae”.

Nadie podía determinar cómo de grande era esta bola celeste, pero se consideró que era inmensamente grande. Los humanos se imaginaban a sí mismos siempre en el centro de la bola, fuera la que fuera su posición exacta sobre la tierra.

Y sin embargo, gira…

Se tardó siglos en reconocer el hecho de que las estrellas no rotan alrededor de la tierra, sino que es la Tierra la que rota en el espacio sobre su propio eje polar.

Las estrellas parecen moverse en el cielo porque la Tierra gira sobre su propio eje. Esta rotación hace que ciertas partes del cielo sean visibles al observador cada 24 horas. (La Tierra tarda 24 horas en hacer una rotación completa)

Por el día, se puede ver que debido a la rotación terrestre el Sol parece salir por el horizonte en oriente, permanece en el cielo durante algunas horas, y de nuevo aparentemente, se vuelve a poner por el horizonte por occidente. Por la noche se puede observar ese aparente movimiento de las estrellas. No sólo se produce el amanecer y el ocaso del Sol. Lo mismo podemos decir de la Luna y también podemos hablar de la salida de la puesta de las estrellas. Lo podemos aplicar naturalmente a todos los cuerpos celestes.

La observación a simple vista

La Luna es el objeto más próximo a nosotros. Sin embargo, si la Luna no está a la vista y los cielos están muy claros, se pueden identificar muchos otros objetos nítidamente. La banda interior de nuestra galaxia, la Vía Láctea, es bastante fácil de reconocer. Dependiendo de la época del año y de la hora del día, se puede identificar a la brillante estrella Sirius, al igual que a los planetas visibles Venus, Júpiter, Mercurio, Marte y Saturno. Las constelaciones ocupan la mayor parte de los cielos y algunas de ellas, que se pueden reconocer muy fácilmente, se pueden distinguir casi inmediatamente. El profano interesado en la materia puede inmediatamente reconocer una u otra de las grandes constelaciones conspicuas, tales como la Osa Mayor u Orión.

Tres simples pasos para identificar los 5 planetas

1.- Diferencia las estrellas de los planetas. Por lo general, los planetas brillas mas que las estrellas. También están mas cerca de la Tierra, por lo que se parecerán mas a un disco que a un punto pequeño. 

2.- Busca planetas brillantes. Aunque algunos de los planetas pueden estar en su periodo de aparición, estos pueden ser más difíciles de ver si no son uno de los planetas más brillantes. Júpiter y Saturno siempre serán los más fáciles de ver.

3.- Ten en cuenta que color buscar. Cada planeta refleja la luz del sol de forma distinta. Ten en cuenta qué color buscar en el cielo nocturno.

• Mercurio: este planeta centellea y proyecta un color amarillo brillante.
• Venus: a menudo, Venus es confundido con un ovni porque es grande y plateado.
• Marte: busca un planeta rojizo en el cielo nocturno para encontrarlo.
• Júpiter: Júpiter irradia un color blanco durante la noche. Es el punto de luz más brillante en el cielo nocturno.
• Saturno: este planeta irradia un ligero color blanco amarillento.

Conjunción Luna-Marte: Mes de mayo de 2016

Recomendaciones:

Para conocer más sobre el tema recomiendo el blog de El Sofista (@astrosofista).

Para seguir más pasos para reconocer los planetas, seguir en WikiHow.

Eventos astronómicos todo el año en EarthSky.

Los postulados de Euclides

En esta oportunidad el genial Eduardo Saenz nos hace la siguiente pregunta ¿Geometría euclidiana o no euclídia? Nos va a explicar sobre los cinco postulados del matemático griego Euclides.

La leyenda del 1+1 (Bertrand Russell)

Si le preguntamos a alguien cuánto es 1 + 1 nos responderá sin dudar que 2. Luego nos mirará raro. Si queremos empezar a molestarle más seriamente, podemos preguntarle que cómo sabe que 1+1 son 2, que lo demuestre. En el caso de que no nos mande a freír espárragos, seguramente empezará a mostrar ejemplos en los que tan vulgar igualdad se cumple. Levantará un dedo y dirá “uno”, luego levantará otro dedo y dirá “uno”, y al final contará los dedos levantados: “uno y dos”. Quizá, para terminar de convencernos, cogerá dos piedras y repetirá el mismo proceso. Como lo que nos hemos propuesto es fastidiarle, le diremos que en realidad no ha demostrado nada, porque ‘1 dedo + 1 dedo = 2 dedos’ es verdad porque 1+1=2, no al revés; pretender que lo que ha hecho constituye una demostración sería un flagrante caso de petitio principii, es decir, dar por supuesto lo que hay que demostrar. Aquí nuestro interlocutor, si es educado, se disculpará y se irá maldiciéndonos, a no ser… que sea Bertrand Russell, que tuvo la osadía de demostrar que 1+1=2.

Una pequeña parte de la prueba que aparece en el "Principia Mathematica"

Esta prueba está en los Principia Mathematica, obra que Russell escribió junto con Whitehead con el fin de derivar toda la matemática a partir de unos primeros principios evidentes. Para tener una idea del alcance y la amplitud de los "Principia", puede deducirse del hecho de que se necesitan más de 360 ​​páginas para demostrar definitivamente que 1 + 1 = 2. Hoy en día, es ampliamente considerado como uno de los trabajos más importantes y seminales en la lógica, después de "Organon" de Aristóteles. Parecía un éxito notable y fuerte en sus objetivos ambiciosos, y pronto ganó fama mundial por Russell y Whitehead. De hecho, no fue hasta 1931 teorema de incompletitud de Gödel, que finalmente demostró que el "Principia" no podía ser a la vez consistente y completa.

Russell fue galardonado con la Orden del Mérito en 1949 y el Premio Nobel de Literatura en el año siguiente. Su fama siguió creciendo, incluso fuera de los círculos académicos, y se convirtió en algo así como un nombre familiar en la edad adulta, aunque en gran parte como resultado de sus contribuciones filosóficas y su activismo político y social, que continuó hasta el final de su larga vida. Él murió de la gripe en su amado País de Gales en la gran edad de 97 años.

Nota:

Para adentrar en esta demostración recomiendo este blog The Universe of Discourse.

Para las notaciones de "Principia": The Notation in Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy).