Sobre el desarrollo de la noción de integral. H. Lebesgue

La integral de Lebesgue

Apoyándose en trabajos de Emile Borel y Camile Jordan, en el año 1901 Henri Lebesgue desarrolla la teoría de la medida. Un año después introdujo una nueva herramienta que supuso un avance muy importante en el análisis moderno y especialmente en el análisis de Fourier: Integral de Lebesgue, que generaliza el concepto de integral de Riemann y solucionaría las carencias de ésta.

La introducción de este concepto es uno de los grandes logros del análisis del siglo XX y tiene aplicaciones en prácticamente todas las ramas de las Matemáticas, desde el cálculo de probabilidades hasta el análisis armónico. Y todo esto en una tesis doctoral Intégrale, longueur, aire, presentada en la Universidad de Nancy en 1902 y publicada en los Annali di Matematica ese mismo año.

Además, Lebesgue contribuyó de manera decisiva en la teoría de potenciales y son también destacables sus aportaciones en topología.

Henri Lebesgue, sobre su integral

El propio matemático Henri Lebesgue hablando sobre su integral, es un párrafo corto pero muy curioso, espero lo disfruten. Gracias por su tiempo para la lectura.

Una bonita cita que define, en cierto modo, a este león de las matemáticas, la pronunció un gran estudioso de su trabajo John Charles Burkill:

"El trabajo de Lebesgue yace casi por completo en un campo, el de las funciones reales. Allí él es el supremo".

Fuentes de origen y de consulta.

Sobre Henri Lebesgue, lo he tomado de Tito Eliatron Dixit. Ver.
Para profundizar sobre su biografía en MacTutor.
"Sobre el desarrollo de la noción de integral". H. Lebesgue.

Artur Avila, el niño prodigio que calma el caos

Todo ha sucedido muy rápido y desde muy temprano. A sus 16 años, cuando todavía se encontraba en secundaria, Artur Ávila (Río de Janeiro, 1979) ingresó en una maestría del Instituto Nacional de Matemática Pura y Aplicada (IMPA), en su ciudad natal. Seis años después había completado su doctorado. Es el primer latinoamericano que ha conquistado una Medalla Fields.

Las soluciones de Artur Ávila a los problemas ubicuos en la Teoría del Caos
han ganado el mayor premio logrado por un científico brasileño.

Medalla Fields 2014

Artur Ávila es un investigador de 36 años graduado del Instituto de Matemática Pura y Aplicada en Río de Janeiro, que trabaja tanto en Brasil como en el Centro Nacional de Investigaciones Científicas de Francia (CNRS).

La Medalla Fields le fue otorgada por sus estudios sobre sistemas dinámicos y la creación de modelos matemáticos para predecir la evolución en el tiempo de diferentes fenómenos naturales y humanos.

Este galardón es uno de los reconocimientos más importantes a nivel mundial en el área de las matemáticas, que concede cada cuatro años la Unión Matemática Internacional, y premia a los mejores talentos menores de 40 años.

Debieron transcurrir 78 años pero, como se dice, nunca es tarde si la dicha llega. Ya Latinoamérica presume de su nueva estrella. El director general del IMPA, César Camacho, aseguró que se trata del "mayor premio recibido hasta la fecha por un investigador brasileño".

Las reacciones por el éxito del matemático no se han hecho esperar. "El reconocimiento mundial del trabajo de Ávila llena de orgullo a la ciencia brasileña y a todo Brasil", dijo la presidenta brasileña, Dilma Rousseff, en su cuenta de Twitter.

Parabenizo o pesquisador carioca Artur Avila, do Instituto de Matemática Pura e Aplicada, por ter recebido hoje a medalha Fields.

— Dilma Rousseff (@dilmabr) 12 de agosto de 2014

El matemático brasileño es además el primer ganador de la Medalla Fields que obtuvo su doctorado fuera de Estados Unidos o Europa.

El niño prodigio de Brasil

Ávila es un hombre objetivo y reservado que comenzó a desarrollar su pasión por las matemáticas en el quinto grado, motivado por un maestro que lo inscribió, en 1992, en la Olimpiada Matemática de Brasil, organizada por el IMPA para buscar talentos en esta disciplina.

En esa oportunidad, con 13 años de edad, ganó bronce y luego tres oros consecutivos. En 1995 obtuvo la medalla dorada en la Olimpiada Matemática Internacional, en Canadá.

Después se unió a un curso de verano con IMPA y a partir de entonces, según César Camacho, director del Instituto, Avila empezó a ser conocido como brillante. A los 21 años obtuvo su Ph. D. del Instituto de Matemática Pura y Aplicada de Río de Janeiro, y hoy se desempeña como investigador de esa institución y del Centro Nacional de Investigación Científica.

Ávila junto a su ex asesor post-doctoral, Jean-Christophe Yoccoz en el Colegio de Francia

La casa brasileña del 'Nobel'

La medalla Fields conquistada por el brasileño Artur Ávila no fue una sorpresa. El Instituto Nacional de Matemática Pura y Aplicada (IMPA) —la joya de la corona de la enseñanza superior brasileña— ha invertido desde su fundación, en 1952, en la producción académica de alto nivel. Apuesta, sobre todo, en la contratación de investigadores calificados, muchos de ellos extranjeros. Pero también ha estimulado los talentos en matemáticas desde la juventud.

“Ávila fue premiado por su talento personal, por su trabajo. Desde su primer curso ya se vislumbraba que sería un excelente matemático. Pero la medalla es coherente con la madurez de la matemática brasileña. Era una cuestión de tiempo”, defiende César Camacho, director general del centro.

El IMPA no tiene estudios de grado. Posee estudios de maestría y doctorado desde 1971, cursos de verano y ofrece programas de investigación. Como las becas ofrecidas no son suficientes para mantenerse en una gran ciudad, la institución también ofrece residencias a estudiantes e investigadores. 

En 2018, cuando Río de Janeiro sea sede del Congreso Internacional de Matemáticos, será la primera vez que se celebre en Sudamérica. Los brasileños podrán una vez más conocer la excelencia de su matemática. “Ávila es un producto de algo bien hecho, de una institución muy bien estructurada. Y muestra que Brasil es capaz de tener este tipo de institución”, finaliza Camacho.

Los últimos trabajos de Artur Ávila en el 2014, medalla Fields, generaliza un trabajo de @janarhertz. #Ciencia140 https://t.co/sTpbzDfiLn

— Jamessi (@jamessi_) 29 de junio de 2016

Fuentes de origen

El artículo A Brazilian Wunderkind Who Calm Chaos. De QuantaMagazine.

Se lee también en O garoto prodígio brasileiro que acalmou o caos.

Una entrevista recogida del diario español El País. Ver.

Fuentes relacionadas en este blog

La Medalla Fields.

Cómo las matemáticas obtuvieron su 'Nobel'.

Discurso de A. Paenza en los Fields 2014. La Puerta Equivocada.

La Medalla Fields

¿Por qué no existe un Premio Nobel de Matemáticas?

Existe una leyenda muy conocida, según la cual la causa de esta inexistencia habría sido el deseo de Alfred Nobel de evitar la posibilidad de que el matemático sueco Gösta Mittag-Leffler lo ganara. En realidad, ellos casi no se conocían y ciertamente el segundo no era el amante de la esposa del primero, como suele sugerirse, ya que Nobel no era casado. El verdadero motivo es simplemente que los cinco premios originales (física, química, medicina, literatura y paz) estaban dedicados a temas que le habían interesado a Nobel toda su vida, y la matemática no se contaba entre ellos. 

Ver: ¿Por qué no existe Premio Nobel de Matemáticas?

La Medalla Fields

El premio, dedicado a la memoria de John Charles Fields –un matemático canadiense que había sido su organizador y que había obtenido la financiación– consiste en una medalla, acuñada en oro, que muestra la imagen de Arquímedes y la frase “Transire suum pectus mundoque potiri” (ir mas allá de uno mismo y dominar el mundo). Se otorgan desde el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Oslo en 1936. Por eso, el premio hoy se llama medalla Fields. Se lo considera el análogo del Premio Nobel que para la matemática no existe.

Estos premios están rodeados de estrictas reglas. Se entrega a dos, tres o cuatro matemáticos, no mayores de 40 años, cada vez que se hace el Congreso de la Unión Matemática Internacional (IMU). Esto sucede cada 4 años, y la diferencia en dinero con el Nobel es abismal: $15.000 (quince mil dólares canadienses) para los ganadores de la medalla, contra casi 1.600.000 (un millón seiscientos) que obtuvieron los ganadores del Nobel en el año 2015. 

Las Fields, reconocen un trabajo ya realizado -de hecho una trayectoria investigadora, no un único logro-, pero también pretenden ser un estímulo para futuros desarrollos. Martin Grotschel, secretario de IMU, ha reconocido que el límite de edad es un tema a debate dentro del Comité Ejecutivo de la Unión, aunque por el momento no prevén ningún cambio en este sentido.

Medalla Fields, hecha por Stefan Zachow para la Unión Internacional de Matemática

La comparación entre la Medalla Fields y el Premio Nobel fue un asunto político, que envuelve al matemático Stephen Smale, aunque quizás sin intención. La comparación  tuvo éxito y los anuncios en prensa de los cuatro galardonados en 1966 incluyeron en la mayoría de los medios de comunicación, una mención a la comparación con el Premio Nobel. Ver subnota.

Ganadores de la Medalla Fields

Los primeros ganadores de la medalla Fields (en el año 1936) fueron Lars Ahlfors de Finlandia y el americano Jesse Douglas. Desde entonces, y hasta acá (2016), se entregaron sólo a 56 personas. Ver lista completa.

En la edición del 2006, se produjo un episodio sorprendente, porque el matemático ruso Gregori Perelman se negó a recibir la medalla y ni siquiera concurrió al congreso, que se hizo en Madrid, disgustado con que se hubiera puesto en duda la importancia de su contribución. Perelman vive ahora recluido en su Rusia natal (en Leningrado), luego de haber resuelto uno de los problemas más importantes de la matemática: la conjetura de Poincarè.

Para la última edición, en el 2014, sucedió algo histórico. Por primera vez hay una presidenta en la IMU, la matemática y física belga Ingrid Daubechies. Por primera vez una mujer ha recibido este galardón, se trata de la iraní Maryam Mirzakhani. Por primera vez un matemático latinoamericano ha sido premiado, Artur Ávila. Y, finalmente, por primera vez un divulgador matemático de habla hispana, el argentino Adrián Paenza, ha obtenido el Premio Leelavati (que se concedió por primera vez en el 2010). Las matemáticas reconocen el talento sin importan ninguna otra cosa. Y así tiene que ser por siempre y para siempre.

Adrián Paenza recibió el Premio Leelavati otorgado por el IMU en el 2014

El premio Wolf

El complementario de la medalla Fields es el premio Wolf, una especie de Oscar a la carrera, instituido en 1978 por Ricardo Wolf, filántropo cubano de origen alemán que fue embajador en Israel desde 1961 hasta 1973. Como los premios Nobel, los premios Wolf no tienen limitaciones de edad, se asignan en varios campos (física, química, medicina, agricultura, matemática y arte), son entregados por el jefe de Estado en la capital (el rey de Suecia en Estocolmo en un caso, el presidente de Israel en Jerusalén en el otro) e incluyen un sustancioso cheque (de 100.000 dólares, contra los 10.000 de la medalla Fields y el millón del Premio Nobel).

Fuentes para recomendar

Subnota: Cómo las matemáticas obtuvieron el 'Nobel'.

[Video] ¿Por qué no existe Premio Nobel de Matemáticas?.

El Lenguaje del Universo. Artículo en Página12.
Discurso de A. Paenza en los Fields 2014. La Puerta Equivocada.

Cómo las matemáticas obtuvieron su 'Nobel'

Mucha gente todavía cree que el origen de la Medalla Fields fue una respuesta a la falta de un premio Nobel en Matemáticas. Pero, en realidad, esta comparación nació en 1966 con la controversia política asociada la Medalla Fields que recibiría Stephen Smale en ese año. Su posición contra la guerra de Vietnam tuvo eco internacional y lo llevó al llamado Smale Affair.

Muy breve sobre la Medalla Fields.

Stephen Smale, galardonado con la medalla Fields en 1966

El Smale Affair

El Smale Affair es bien conocido. Stephen Smale, profesor en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de California en Berkeley, estaba en la lista negra de opositores a la guerra de Vietnam en la comunidad académica. El 5 de agosto de 1966, el periódico San Francisco Examiner informó que Smale había sido citado a comparecer ante el Comité de Actividades Anti-americanas por su activismo contra la guerra. 

El artículo insinuaba que Smale, en lugar de presentarse, había huido a Moscú. El director del Departamento al que pertenecía Smale, Leon Henkin, notificó a los medios de comunicación que Smale estaba camino a Moscú para asistir al Congreso Internacional de Matemáticos. Serge Lang, que entonces estaba de visita en Berkeley, testificó ante los medios que "el Dr. Smale recibirá la Medalla Fields, el mayor honor en matemáticas, comparable al Premio Nobel." 

Al día siguiente, el New York Times anunció el premio a Smale afirmando que se trataba del "premio más cercano en matemáticas al Premio Nobel".

Smale, medalla Fields 1966

Un personaje increíble, éste Smale. Activista en contra de la guerra de Vietnam, recibió la medalla Fields en el ICM de Moscú en 1966.

Tras recibirla, criticó en una rueda de prensa los bombardeos de su país a Vietnam. Al darse cuenta de dónde estaba y que tendría que volver a su casa en California, decidió compensar y pasó a criticar la falta de libertad de expresión en la URSS y cómo se comportaban con Hungría.

Al poco paró un coche del que salieron dos hombres que se llevaron a Smale. Dos horas después, ante el desconcierto generalizado, el coche apareció de nuevo y de él salio Smale ileso. Según el matemático, le llevaron a dar una vuelta turística por Moscú, enseñándole edificios y museos.

Medalla Field(s)

Por cierto, hasta 1966 las Medallas Fields fueron un premio muy poco conocido. Por ello muchas veces en prensa, como en el New York Times de 1954 en relación a Jean-Pierre Serre y Kunihiko Kodaira, se usa el nombre Medallas Fields (sin la 's' final). Un error que todavía se encuentra hoy en día en ciertas ocasiones.

Sobre cómo la Medalla Fields consiguió su apodo como "el Premio Nobel de las matemáticas", con Stephen Smale http://t.co/6IdgmORAib #Nota140

— Jamessi (@jamessi_) 9 de agosto de 2014

Fuentes de origen

Parte de este artículo le pertenece a Francisco R. Villatoro. Ver.
Recomiendo adentrar en How Math Got Its 'Nobel' de The New York Times.

Fuentes relacionadas en este blog

La Medalla Fields.

Artur Ávila, medalla Fields 2014.

Discurso de A. Paenza en los Fields 2014. La Puerta Equivocada.

A cien años del nacimiento de Alan Turing

En diciembre del 2013 la reina de Inglaterra firmó un edicto exonerando de sus cargos a Turing, una decisión simbólica que llegaba 60 años tarde. En 1953 se le condenó por homosexual a ser castrado químicamente, murió un año después al comer una manzana impregnada de cianuro. Todo lo demás es leyenda.

Alan Turing (y la computadora que piensa)

Inglaterra tuvo (y tiene) matemáticos brillantes, pero sin duda Alan Turing tiene reservado un lugar en el “paraíso”. Ya verá por qué. Turing fue un especialista en lógica y también en criptografía.

Durante la Segunda Guerra Mundial trabajó en el centro que los británicos habían montado con la finalidad de descifrar el código secreto de los nazis.

El aporte de Turing fue tan determinante que gracias a él los aliados pudieron quebrar los mensajes que recibían las naves alemanas, predecir los movimientos que habrían de hacer y las posiciones que ocuparían, hasta que finalmente lograban capturarlas.

Pero más allá de su participación decisiva durante la guerra, todavía el mundo vivía con un cruel atraso. Turing era homosexual y la homosexualidad era ilegal en buena parte del mundo, pero muy especialmente en Inglaterra. Cuando la policía le descubrió relaciones con otro(s) hombre(s), le dieron la alternativa entre mandarlo preso o someterlo a un tratamiento hormonal con el afán de disminuirle la libido. Turing optó por esto último, pero finalmente terminó suicidándose al comer una manzana envenenada con cianuro.

En realidad, aún hoy está en discusión si esto fue cierto, pero lo notable es que la homosexualidad (que los ingleses en aquel momento –y buena parte del mundo todavía– consideraban una enfermedad) impidió que Turing pudiera desarrollar su increíble capacidad creativa y lo “obligó” a truncar su vida.

Por supuesto –como casi siempre– el reconocimiento a su tarea fue post mortem, cuando ya no vivía para disfrutarlo, pero lo cierto es que hoy es considerado uno de los “padres” de la computación científica.

Alan Turing (1912 - 1954) 

No pretendo hacer una biografía de Turing: no me alcanzaría el lugar ni tengo los conocimientos para hacerlo. De hecho, la vida de Turing está contada en varios libros de reciente publicación. Pero lo que sí pretendo es contar algunos episodios de relevancia de su historia como científico.

Turing fue el primero en hablar de lo que hoy se llama “Inteligencia Artificial” o más popularmente AI (por sus iniciales en inglés Artificial Intelligence). Se trata, en definitiva, de la rama de la computación que se dedica al diseño y construcción de “máquinas inteligentes” o de escribir programas que al correrlos en una computadora la transformen en un “ser inteligente”.

En el año 1950, en un artículo que apareció en la revista Mind (Mente), y que Turing tituló “Computing Machinery and Intelligence” (que me voy a permitir traducir libremente como “Computadoras Inteligentes”), el matemático inglés se hizo la siguiente pregunta:

“Si una computadora pudiera pensar, ¿cómo podríamos darnos cuenta?”.

La sugerencia de Turing fue que si uno le hiciera preguntas a esa computadora y sus respuestas no se pudieran distinguir de las de un ser humano, uno podría concluir que “la computadora estaba pensando”. Y hasta hoy, 62 años después, se considera ese test (Test de Turing) como el más apropiado para poder decidirlo.

En el año 1990, Hugh Loebner un filántropo excéntrico (¿será posible alguna vez escribir en una frase la palabra “filántropo” sin tener que agregar “excéntrico” para calificarlo?), quien siempre se jactó de su relación con las prostitutas de Nueva York, decidió ofrecer un premio de 100.000 (cien mil) dólares a quien pudiera construir una computadora (y un programa, claro está) cuyas respuestas fueran indistinguibles de las que pudiera dar un ser humano. El premio es ciertamente muy bajo para quien pueda alcanzar semejante proeza. Sin embargo, hay gente que se presenta todos los años.

Loebner no lo hizo solo sino que, para darle una pátina de mayor credibilidad, se asoció con el Centro de Estudios de Comportamiento de Cambridge, en Inglaterra. Todos los años, gracias al impulso que él le ha dado, se realiza la competencia en donde computadores de todo el mundo, o especialistas en ciencias de la computación, viajan hasta la Universidad de Reading a unos 40 kilómetros al oeste de Londres, para aspirar al premio.

La idea de cada diseñador o arquitecto es ver si son capaces de superar el “test” de Turing. Quien lo logre se llevará la medalla de oro y además los 100.000 dólares.

Pero como hasta acá ninguna ha podido responder como un humano, el premio principal ha quedado vacante. Sin embargo, cada año, aquella que se asemeje más a lo que contestaríamos usted o yo, se lleva un premio consuelo de 3000 dólares y una medalla de bronce. 

Yo sé que mientras usted lee estos datos debe estar sonriente o escéptico. Y la/lo entiendo. De todas formas, lo/la invitaría a repensar su posición. Quizás hoy parezca una locura o un imposible, y más pertinente al terreno de la ciencia-ficción que de la realidad. Pero sólo acepto esta frase si la palabra “hoy” figura subrayada. No crea que falta tanto.

Estatua realizada por Stephen Kettle en homenaje a Turing, en Bletchley Park (Inglaterra), donde llevaron a cabo las tareas de desciframiento de los códigos alemanes

Fuente de origen

Extraído un artículo original de Adrián Paenza en Página12. Ver.

Un ordenador logra por primera vez superar el test de Turing (2014)

Por primera vez desde que Alan Turing diseñó el test, un programa de ordenador ha logrado convencer a más del 30% de los jueces de que era «genuinamente humano». Se trata de un chatbot (robot programado para charlar online) que obedece al nombre de Eugene Goostman. El programa fue capaz de convencer al 33% de los jueces que participaron en la prueba en la Royal Society de que estaban chateando con un niño ucraniano de 13 años, respondiendo a preguntas sobre su infancia en Odessa, revelando su desdén por La guerra de las Galaxias o su pasión por las canciones de Eminem (en especial Stan y The Real Slim Shady).

Ver la noticia completa en este enlace.

Una idea genial de Eratóstenes

Para qué les servía la geometría.

Eratóstenes enseñando en Alejandría (ca. 1635). Oleo sobre lienzo de Bernando Strozzi

En la historia de la ciencia hay algunas ideas geniales que impresionan por su sencillez y su estructura perfectamente límpida, que permitieron conseguir resultados que todavía hoy nos sorprenden. Por ejemplo, la medición de la circunferencia de la Tierra por Eratóstenes (276-174 a.C.), en el siglo III antes de nuestra era. Eratóstenes, que era bibliotecario del Museo y Biblioteca de Alejandría, se enteró de que en la ciudad de Siena, al sur de Egipto, durante el solsticio de verano, una varilla clavada en el suelo no proyectaba sombra alguna, mientras que en su ciudad sí lo hacía.

Inmediatamente atribuyó esta diferencia a la curvatura de la Tierra y, mediante un ingenioso sistema, midió la distancia entre Alejandría y Siena, y teniendo en cuenta que la sombra de la varilla en Alejandría formaba un ángulo de siete grados, calculó a qué longitud debía corresponder un ángulo de 360 grados: el resultado le dio unos cuarenta mil kilómetros, cifra muy aproximada a la actual, obtenida mediante sofisticados satélites.

Justamente lo que impresiona de Eratóstenes es lo simple de su razonamiento, y lo simple, también, de los elementos que usó: una varilla clavada en el suelo, un instrumento para medir el ángulo de la sombra y una caravana de camellos que le sirvieron para calcular la distancia desde Alejandría a Siena.

Eratóstenes realiza la primera medición de la Tierra mediante un solsticio de verano.

Cómo lo ha medido: Eratóstenes sabía que una caravana de camellos tardaba cincuenta días en ir de Alejandría a Siena, y recorría una distancia de cien estadios cada día; luego la distancia de Alejandría a Siena son 5 000 estadios, lo que hace la circunferencia de la Tierra de 250 000 estadios. Pero por desgracia no sabemos con seguridad la longitud que tenía un estadio, sin embargo, se estima unos 157 metros.

El resultado muestra, de paso, que no sólo la esfericidad de la Tierra era conocida desde la Antigüedad sino que se tenía una idea aproximada de su tamaño (aunque la medición de Eratóstenes fue modificada por Tolomeo, que obtuvo un valor más bajo y más apartado del real). 

Lo importante es saber que la matemática involucrada se conocía ya antes de que el hombre empezara a medir el tiempo como lo hacemos ahora, y por lo tanto en la época de Eratóstenes ya se sabía que la Tierra era un cuerpo con volumen, de forma casi esférica y cuyo diámetro fue estimado (de acuerdo con los registros de la época) con una sorprendente exactitud.

Fuente de origen

Es un contenido exclusivo y original de Leonardo Moledo. Ver.

Cómo medir el radio de la Tierra con un palo de selfie.

Javier Santaolalla, físico, miembro de The Big Van Theory, furgoneta en cruzada por la divulgación científica, propone en Date un Voltio una recreación del método de Eratóstenes para medir el radio de la Tierra, utilizando un palo de selfie.

Esta actividad es adecuada para estudiantes de 4º de secundaria en adelante, pues solo se necesita conocer la definición de tangente de un ángulo (e incluso esto se podría obviar dando un rodeo por la semejanza) y ser capaz de determinar el mediodía solar del lugar de observación.

Fuentes relacionadas en este blog

Solsticios y equinoccios.

Solsticios y equinoccios (Inti Raymi)

Eratóstenes

Criba de Eratóstenes

Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia), en el norte de Africa. Vivió entre los años 275 y 195 antes de Cristo.

Por varias décadas, fue el director de la famosa Biblioteca de Alejandría. Fue una de las personas más reconocidas de la época, pero lamentablemente sólo pocos fragmentos de lo que escribió sobrevivieron en el tiempo.

Finalmente, murió en una huelga voluntaria de hambre, inducido por la ceguera que lo desesperaba.

De todas formas, Eratóstenes se hizo famoso por dos cosas que hizo:

–por la medición increíblemente precisa que hizo del diámetro de la Tierra (*) , y

–por haber fabricado una criba, o un filtro, para descubrir todos los números primos.

Recuerdo que un número primo (positivo) es aquel número entero que sólo es divisible por sí mismo y por uno (y explícitamente se excluye al número 1 de la definición). Por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… son números primos. Ningún número par, salvo el 2, puede ser primo (porque todos son también divisibles por 2). Pero ni 9, ni 15, ni 49 son primos, porque tienen otros divisores además de si mismos y el número 1.

Se sabe que hay infinitos números primos (el primero en comprobarlo fue Euclides), pero lo maravilloso que hizo Eratóstenes fue construir un mecanismo que permite encontrarlos a todos (los primos).

Para eso, tuvo el ingenio de hacer lo siguiente (y lo invito a que lo haga conmigo).

Escriba los primeros, digamos 100 números:

Eratóstenes, entonces, empezó a recorrer la lista. Tachó al número 1, porque él sabía que no era primo. Entonces, el primer número con el que se encontró, fue con el 2. Lo que hizo entonces, fue dejar el 2 (que aquí aparece destacado) pero tachó todos los múltiplos de 2. Y le quedó una lista como ésta:

Una vez que tachó todos los múltiplos de 2, siguió con la lista y fue a buscar el primer número que no estaba tachado, en este caso el número 3. Lo dejó como estaba (sin tachar) pero eliminó a todos los múltiplos de 3. (O sea, tachó uno cada tres números.) Le quedó una tabla así:

Y siguió: no necesitó tachar el 4, porque ya estaba tachado, pero siguió hasta el primer número que no lo estaba, y se encontró con el 5. Lo que hizo entonces fue tachar todos los múltiplos de 5. (Claro, ya había habido algunos que había tachado antes, pero siguió con los que estaban libres.) De esta forma, quedaron eliminados todos los múltiplos de 5. Y la tabla quedó así:

Y luego, siguió con el 7, y tachó todos los múltiplos de 7. Y luego, siguió hasta el primer número no tachado, y encontró el 11. Y luego, tachó todos los múltiplos de 11. Y siguió hasta encontrar, luego, al primer número no tachado. Y se encontró con el 13. Y luego, tachó todos los múltiplos de 13 (¿ya entendió la idea, no?). Finalmente, los números que no quedaban tachados en ningún paso, es porque no eran múltiplos de ningún número anterior. Con ésos se quedaba Eratóstenes. En realidad, lo que estaba haciendo era construir una suerte de “filtro” por el cual, al hacer pasar a todos los números, sólo quedaban los “primos”.

Y la lista quedaba (al menos, en los primeros 100 lugares) así:

Es decir, si paráramos acá, habríamos descubierto (con el método de Eratóstenes) que todos los números primos que hay entre los primeros cien números, son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91 y 97.

Con este método sencillo y muy efectivo, Eratóstenes construyó su famosa “criba”. Los números que logran sortear el filtro son los números primos (acá, son los que aparecen destacados en color).

(*) Si Eratótenes calculó el radio de la Tierra es porque sabía que la Tierra era redonda. Es decir, que 15 ¡siglos! antes que Colón, ya se sabía que la Tierra era redonda. ¿Por qué se le seguirá atribuyendo ese descubrimiento justamente a Colón? Un enigma.

Fuente de origen

Esta es una publicación original de Adrián Paenza. Ver.

Arte y Matemática: Teselados de Escher y Penrose.

Teselados

Un teselado es un recubrimiento del plano sin solapamientos, es decir, sin que unas piezas se superpongan sobre otras. En este sentido, las tejas de un tejado no serían un teselado, pero sí un mosaico romano. Los teselados pueden clasificarse según su periodicidad: si el teselado se puede desplazar en dos direcciones independientes del plano y hacer que coincida consigo mismo, se dirá que es periódico. Si no, se hablará de teselado no-periódico o aperiódico.

Para realizar un teselación se emplea una operación matemática llamada transformación isométrica. La teselación de Penrose, además de lo dicho anteriormente, se caracteriza porque no es periódica y está generada por un conjunto aperiódico de baldosas que reciben el nombre de Penrose por el físico matemático Roger Penrose.

La no periodicidad se demuestra en que las figuras no son superponibles: no se puede realizar la operación matemática de simetría translacional. Una curiosidad es que cualquier región finita aparece infinitas veces en la teselación. Dicho de manera informal, una copia desplazada nunca concordará con el original de forma exacta.

Cuando esto se aplica en tres dimensiones se obtiene un cuasicristal, que producirá la difracción de Bragg. Parece ser que Roger Penrose que presentó la teselación en 1974, reconoce que se inspiró en unos trabajos anteriores de Johannes Kepler.

Descubierta por el R. Penrose en la década de 1970

Por otro lado, tenemos al artista holandés, M. C. Escher, que por sugerencia de un amigo matemático aprendió los teselados hiperbólicos y se conoce que visitó la Alhambra de Granada, donde estuvo estudiando los patrones de los mosaicos. Lo cierto, es que como artista Escher no tenía ninguna pretensión ni contenido, sino que hacía lo que le gustaba, normalmente soluciones de problemas, juegos visuales y guiños al espectador. En cuanto a la disposición y el uso de la técnica que emplea a lo largo de su obra, se puede distinguir: la estructura del espacio (en la que incluye cuerpos matemáticos), la estructura de superficie (metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito), y la proyección del espacio tridimensional en el plano.

Se trata de un grabado en madera llamado Círculo límite III por el artista holandés M. C. Escher

Al mirar un cuadro de Escher, uno no necesariamente lo detecta pero está mirando algo bello de la matemática: simetría, patrones, objetos con “doble” sentido. Pero uno no necesita saber matemática para disfrutarlo. Es. Está ahí. Impacta.

Fuentes para investigar

Mini-biografía de M. C. Escher en Microsiervos.

Obras- M. C. Escher: The Official Website.

Escher Granada. Exposicion en la Ciudad de Granada.

Muros, selvas, caminos y puertas

(Extraido de: Tito Eliatron Dixit)

Vi un alto muro y como tenía la premonición de un enigma, algo que podría estar escondido detrás del muro, trepé por él con alguna dificultad. Sin embargo, al otro lado caí en una selva y tuve que abrirme camino con gran esfuerzo hasta que llegué a la puerta abierta, la puerta abierta de las matemáticas. A partir de aquí, caminos muy transitados conducían en todas las direcciones y desde entonces he pasado tiempo allí. A veces pienso que ya he recorrido todo el área, que ya he pisado todos los caminos y admirado todas las vistas, y entonces descubro de repente un nuevo camino y experimento nuevas delicias.

Maurits Cornelis Escher

Vía Boletín 204 (PDF) de la RSME.

Aparte de ser una cita del gran dibujante de la geometría, me ha encantado el símil que hace de la matemáticas con una especie de laberinto, en el que a cada paso que das, encuentras un nuevo camino inexplorado en el que adentrarte.

Fuente del video

"Los matemáticos entienden mejor a Escher". En Naukas.

El legendario matemático de Princeton fallece: John F. Nash.

El genio que desafió a Smith

Con su trabajo sobre la teoría de los juegos, cuestionó la teoría de la mano invisible de Adam Smith. En 1994 ganó el Nobel.

John Forbes Nash (1928-2015), matemático experto en la teoría de juegos.

El matemático estadounidense John Nash, célebre por su trabajo de la teoría económica de juegos y premio Nobel de Economía en 1994, falleció el sábado 23 de mayo del 2015 junto a su mujer en un accidente automovilístico en Nueva Jersey, Estados Unidos. El científico y su esposa, la salvadoreña Alicia Nash, retratados en la película «Una mente brillante (2002)», murieron cuando el taxi en el que viajaban se estrelló en una autopista al tratar de pasar a otro vehículo, según informó la policía.

Esa noche, los Nash regresaban de un viaje a Noruega, donde John había recibido el Premio Abel de la Academia noruega de Ciencias y Letras.

Nash había nacido el 13 de junio de 1928 en Virginia occidental. Su paso por el colegio primario fue traumático. Pese a que había aprendido a leer de muy pequeño y ya evidenciaba ser un niño prodigio, en la escuela se dispersaba fácilmente, tenía problemas de conducta, sus calificaciones eran bajas y no se integraba con el resto de sus compañeros. En 1945 ingresó en el Instituto Carnegie de Tecnología de Pittsburgh y, tras probar sin éxito la ingeniería y la química, se interesó por las matemáticas. A partir de ese momento, comenzó a desplegar todo su potencial intelectual. El doctorado lo realizó en Princeton, la meca de las matemáticas, donde trabajaban Albert Einstein, Robert Oppenheimmer y John von Neumann.

La tesis doctoral de Nash, de apenas 27 páginas escritas a los 21 años, contenía los elementos de una revolución en la teoría económica. Aplicó la teoría de los juegos de Von Neumann a situaciones que implicaban conflicto y ganancias, y concluyó que la “partida” concluía cuando cada jugador elegía su mejor respuesta a la estrategia de sus adversarios. Esa idea simple, “el equilibrio de Nash”, tuvo un fuerte impacto en la economía al cuestionar la teoría de la mano invisible de Adam Smith.

La teoría es demostrada en la película Una mente brillante, cuando Nash observa a cinco mujeres entrar al bar de la universidad. Una de ellas se destacaba del resto por su belleza y los compañeros de Nash se preparaban para disputársela. Entonces, Nash se da cuenta de lo que estaba por ocurrir y les dice que si todos iban detrás de la misma chica terminarían obstaculizándose entre ellos. Por lo tanto, la solución estratégica era ir por las amigas, ignorando a la más hermosa para que luego fuese ella quien eligiese y no ellos. La teoría de la mano invisible postula que la suma de los comportamientos egoístas de las personas redunda en un beneficio y bienestar general, pero lo que remarca Nash es que para que ello ocurra se requiere un mínimo de cooperación entre los agentes económicos. “El bienestar común no depende exclusivamente de la búsqueda por el bienestar individual, como dice Adam Smith en su teoría de la mano invisible, sino de la búsqueda simultánea por el bienestar individual y colectivo”, sostiene entonces y se va del bar diciéndole gracias a la más hermosa por su involuntaria ayuda.

El equilibrio de Nash: lección sencilla en el film "Una mente maravillosa" (2002)

Más que un juego

Antes de Nash, la teoría de juegos, que estudia las decisiones que toman individuos que interactúan y compiten entre sí, era incipiente. La disciplina sólo llegaba hasta la teoría de “suma cero”: situación en la que los individuos buscan el mismo objetivo, y toda la ganancia de uno implica la pérdida del otro—. Ese análisis no reflejaba del todo la realidad. Para situaciones diferentes a suma cero o juegos cooperativos, no había una solución.

En los años cincuenta, Nash agregó un componente clave a la teoría de juegos: la predicción —los individuos toman sus decisiones considerando que los demás optarán por su mejor elección— para llegar a una solución, concepto que hoy se denomina el "Equilibrio de Nash". Sería difícil entender una teoría de juegos moderna sin el equilibrio de Nash.

Después de Nash, se transformó el estudio sobre las tomas de decisiones. En el mundo económico, se incorporó la premisa de que los competidores adoptan sus mejores estrategias en busca de su propio beneficio.

Nash ha tenido influencia en el estudio de comportamientos en campos ajenos a la economía: la competencia entre partidos políticos y la conducta de los votantes, ciertos comportamientos de animales, entre otros, señalan los economistas. Aunque sin darse cuenta, todas las personas del mundo aplican el equilibrio de Nash en sus decisiones diarias.

Premio Nobel en Economía en 1994 y Premio Abel 2015

“El equilibrio de Nash”, tal como se conoció a su teorema, es lo que le permitió obtener en 1994 el Premio Nobel de Economía y en marzo del 2015 el Premio Abel de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, considerado el Nobel de las matemáticas. Antes del reconocimiento mundial, tuvo que enfrentar una severa esquizofrenia paranoica que había sido diagnosticada como irreversible, pero de la que pudo salir luego de treinta años de sufrimiento. Con su recuperación también terminó asombrando.

John Nash. Conferencia de prensa, al término de la ceremonia (de los premio Nobel) en 1994. Sentado,
a su costado, el profesor de matemáticas en Princeton Harold Kuhn, un amigo de toda la vida de Nash.
(Foto: Denise Applewhite, Oficina de Comunicaciones). 

Fuentes relacionadas en este Blog

Teoría de Juegos: Equilibrio de Nash.

El Dilema del Prisionero.

El profesor que calificaba usando "el dilema del prisionero". Alternativo
El Nobel que volvió de la esquizofrenia.

Otros: Rosrell Crowel sobre la muerte de John Nash

El reconocido actor neozelandés Russell Crowe, ha manifestado en la red social Twitter su estupefacción al conocer la noticia: "Aturdido... Mi corazón está con John, Alicia y familia. Una increíble colaboración. Mentes maravillosas, corazones maravillosos".

Stunned...my heart goes out to John & Alicia & family.
An amazing partnership. Beautiful minds, beautiful hearts. https://t.co/XF4V9MBwU4

— Russell Crowe (@russellcrowe) 24 de mayo de 2015

John Nash, el Nobel que volvió de la esquizofrenia

Escribía sin parar ecuaciones interminables de problemas irresolubles en pizarras de aulas sin alumnos. Buscaba en infinitas series de números las claves secretas que le permitieran desactivar la conspiración mundial que creía haber descubierto.

Pero todo estaba solo en su mente. En una mente que fue maravillosa cuando en su segundo año en la Universidad de Princeton, con 21 años, dio a luz una breve pero brillante tesis doctoral en la que ampliaba y mejoraba los postulados de una teoría elaborada por Von Neumann y Morgenstein, la «Teoría de juegos». Después, su luz se apagó.

El tema de su tesis doctoral de 1950, marcó el camino del Nobel en Economía.

John Nash, galardonado con el premio Nobel de Economía de 1994, no ha llevado la típica vida de sabio. Cuando era uno de los más prometedores matemáticos, a finales de los años cincuenta, la esquizofrenia hizo presa en él, y sólo hace 10 años los síntomas empezaron a remitir. Su esposa Alicia, familiares y amigos tejieron a su alrededor una red de apoyo que le evitó correr la suerte de tantos pacientes: verse postrado en una cama de hospital, convertirse en un vagabundo, desplomarse en el suicidio. Su teoría de los juegos ha hecho historia. El premio fue un milagro. No era sólo que Nash, uno de los genios matemáticos de la época de posguerra, obtuviera por fin el reconocimiento que se merecía. El verdadero milagro era que Nash, de 66 años -alto, de pelo gris, con ojos tristes y la voz suave y áspera de alguien que no habla mucho-, estuviera vivo y lo bastante bien como para recibir el premio. Y es que John Nash se vio afectado por una esquizofrenia paranoica más de tres décadas antes.

La terrible enfermedad de Nash era un secreto a voces entre los matemáticos y economistas. Tan pronto como la revista Fortune lo eligió, en julio de 1958, como la brillante y joven estrella estadounidense de las "nuevas matemáticas", la enfermedad destrozó la vida personal y profesional de Nash.

No había publicado ningún documento científico desde 1958. No había ocupado ningún puesto académico desde 1959. Mucha gente había oído, y no era cierto, que le habían practicado una lobotomía. Otros simplemente daban por supuesto que había muerto.

Lucha contra la esquizofrenia paranoica.

No murió, pero su vida, antes tan llena de viveza y esperanza, se volvió un infierno. Hubo repetidos internamientos en hospitales psiquiátricos. Tratamientos fallidos. Delirios espantosos. Un periodo de vagabundeo por Europa. Finalmente, regresó a Princeton, donde una vez fuera la estrella en ascenso. Allí, se convirtió en el Fantasma de Fine Hall, una figura muda que garabateaba extrañas ecuaciones en pizarras de la Facultad de Matemáticas y buscaba ansiosamente mensajes secretos en los números.

Años más tarde, los terribles fuegos que alimentaban los delirios y distorsionaban su pensamiento empezaron a desaparecer. Ocurrió de forma muy gradual. Pero, ya en la cincuentena, Nash empezó a salir de su aislamiento. Volvió a hablar con otros matemáticos. Empezó a trabajar en problemas que tenían sentido.

En el caso de Nash, la tragedia tiene la dimensión añadida de su temprano genio, y de la red de familiares y amigos que valoraban ese genio y que envolvieron protectoramente a Nash proporcionándole un refugio seguro mientras estuvo enfermo. Estaban los antiguos colegas que intentaron hacerle trabajar. Estaba su hermana, que tuvo que tomar decisiones desgarradoras acerca de su tratamiento. La esposa leal, que permaneció a su lado cuando ya no era su esposa. El economista que alegó ante el comité del Nobel que una enfermedad mental no debía ser un impedimento para el premio. La propia (Universidad de) Princeton. Todos ellos, se aseguraron de que Nash no acabara siendo, como les ocurre a muchas víctimas de la esquizofrenia, un paciente de algún hospital estatal, un vagabundo sin casa o un suicida.

Nash nunca ha hablado de su enfermedad públicamente, excepto en la conferencia de prensa en la que anunció su premio, durante la cual se refirió indirectamente al hecho de que había tomado algunas decisiones irracionales en el pasado. Se negó a ser entrevistado para este reportaje: "La gente sabe lo que sabe" dijo.

Nash realizó la tesis premiada con el Nobel en su segundo año en Princeton. La teoría de juegos fue una invención de Von Neumann y de un economista de Princeton llamado Oskar Morgenstern. Nash escogió para su tesis un problema que se le había escapado a Von Neumann. En pocas palabras, Von Neumann no tenía más que una buena teoría de las rivalidades puras en las que la ganancia de un bando era la pérdida del otro. Nash se centró en las rivalidades en que también era posible la ganancia mutua.

Nash convirtió la teoría de juegos, una idea engañosa, en un poderoso instrumento que los economistas podrían usar para analizar todo, desde la comipetencia financiera hasta las negociaciones.

En los meses precedentes a su hospitalización, Nash se convirtió en otra persona. Saltaba, de un tema a otro. Algunas de sus clases ya no tenían sentido. En un momento dado, huyó a Roanoke abandonando sus clases. Escribió extrañas cartas a varios personajes públicos.

Fue internado durante meses en el prestigioso hospital McLean, pero la enfermedad no se detuvo. "La esquizofrenia es una enfermedad cerebral", dice Fuller Torrey, especialista. Pero los neurolépticos, medicamentos que se utilizaron para tratar algunos -aunque ni mucho menos todos- de los síntomas en las décadas siguientes, acababan de aparecer en escena. Las causas de la enfermedad siguen siendo desconocidas.

Su vida inspiró el best seller "Una mente maravillosa", escrito por la perioista Sylvia Nasar.

Alicia de Nash

En 1963, Alicia, su mujer, se divorció de él, pero dejó que siguiera viviendo en su casa. Nash fue hospitalizado al menos en otras tres ocasiones. Alicia, que no volvió a casarse, mantuvo a su ex marido y a su hijo trabajando como programadora de ordenadores, con alguna ayuda financiera de familiares, amigos y colegas. "Era una vida de escasez", dice una amiga. Nash se convirtió en un ser triste y fantasmal. Alicia creía firmemente que Nash debía vivir en su casa y permanecer dentro de la comunidad matemática de Princeton aunque no rigiera bien.

Algunos antiguos colegas de Princeton y el MIT intentaron ayudar ofreciéndole trabajos en proyectos de investigación, aunque con mucha frecuencia Nash no estaba en condiciones de aceptar la ayuda. Shapley, de UCLA, le consiguió un premio de matemáticas en metálico. Hubo otras iniciativas, como dar a Nash acceso a los ordenadores de la universidad o acordarse de invitarle a los seminarios cuando viejos amigos volvían al campus.

Entonces sucedió lo que Kuhn llama "una remisión milagrosa". Y como sucede por causas desconocidas en algunos esquizofrénicos, no se debió, según Alicia y su amiga Martha, a ninguna droga ni tratamiento. "Todo es cuestión de llevar una vida tranquila", dice Alicia.

La historia de Nash es una prueba no sólo de supervivencia, sino de la lealtad y la admiración que inspiraba en los demás.

Principales reconocimientos (premios)

En 1994 recibió el premio Nobel de Economía y su vida fue plasmada primero en un libro por la periodista Sylvia Nasar y después en una fantástica película -«Una mente maravillosa»- dirigida por Ron Howard y protagonizada por Russell Crowe.

Ha recibido el título honorario de Doctor en Ciencia y Tecnología de la Universidad Carnegie Mellon (1999), -ver la imagen inicial de este post.

El pasado marzo fue galardonado con el [*] Premio Abel 2015, junto a Louis Nirenberg, por sus contribuciones al campo de las ecuaciones diferenciales parciales y sus aplicaciones a análisis geométrico.

La noche del 23 de mayo del 2015, a la edad de 86 años, moría en un accidente de tráfico en Nueva Jersey cuando el taxi en el que viajaba se estrellaba contra el guardarraíl. Su esposa Alicia, que viajaba con él, una vez más se negó a abandonarle. Los dos fallecieron, al salir despedidos del vehículo. Esa noche, los Nash regresaban de un viaje a Noruega, donde John había recibido el Premio Abel de la Academia noruega de Ciencias y Letras.

John Nash  (86 años). Foto tomada durante una recepción especial en honor a Nash luego de ganar el Premio Abel 2015. A la derecha, Yakov Sinaí, profesor de matemáticas de Princeton (Abel 2014).

[*] El Premio Abel

El Premio Abel es un reconocimiento internacional a toda una carrera científica en el campo de las matemáticas, otorgado por la Academia de Ciencias y Letras, en base a las recomendaciones Del Comité Abel. Desde 2003 el premio se concede anualmente, y está dotado con unos 800.000 euros.

Fuentes relacionadas en este Blog

Teoría de Juegos: Equilibrio de Nash.

El Dilema del Prisionero.

El profesor que calificaba usando "el dilema del prisionero". Alternativo.
El legendario matemático de Princeton: John F. Nash.