Arte y Matemática: Teselados de Escher y Penrose.

Teselados

Un teselado es un recubrimiento del plano sin solapamientos, es decir, sin que unas piezas se superpongan sobre otras. En este sentido, las tejas de un tejado no serían un teselado, pero sí un mosaico romano. Los teselados pueden clasificarse según su periodicidad: si el teselado se puede desplazar en dos direcciones independientes del plano y hacer que coincida consigo mismo, se dirá que es periódico. Si no, se hablará de teselado no-periódico o aperiódico.

Para realizar un teselación se emplea una operación matemática llamada transformación isométrica. La teselación de Penrose, además de lo dicho anteriormente, se caracteriza porque no es periódica y está generada por un conjunto aperiódico de baldosas que reciben el nombre de Penrose por el físico matemático Roger Penrose.

La no periodicidad se demuestra en que las figuras no son superponibles: no se puede realizar la operación matemática de simetría translacional. Una curiosidad es que cualquier región finita aparece infinitas veces en la teselación. Dicho de manera informal, una copia desplazada nunca concordará con el original de forma exacta.

Cuando esto se aplica en tres dimensiones se obtiene un cuasicristal, que producirá la difracción de Bragg. Parece ser que Roger Penrose que presentó la teselación en 1974, reconoce que se inspiró en unos trabajos anteriores de Johannes Kepler.

Descubierta por el R. Penrose en la década de 1970

Por otro lado, tenemos al artista holandés, M. C. Escher, que por sugerencia de un amigo matemático aprendió los teselados hiperbólicos y se conoce que visitó la Alhambra de Granada, donde estuvo estudiando los patrones de los mosaicos. Lo cierto, es que como artista Escher no tenía ninguna pretensión ni contenido, sino que hacía lo que le gustaba, normalmente soluciones de problemas, juegos visuales y guiños al espectador. En cuanto a la disposición y el uso de la técnica que emplea a lo largo de su obra, se puede distinguir: la estructura del espacio (en la que incluye cuerpos matemáticos), la estructura de superficie (metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito), y la proyección del espacio tridimensional en el plano.

Se trata de un grabado en madera llamado Círculo límite III por el artista holandés M. C. Escher

Al mirar un cuadro de Escher, uno no necesariamente lo detecta pero está mirando algo bello de la matemática: simetría, patrones, objetos con “doble” sentido. Pero uno no necesita saber matemática para disfrutarlo. Es. Está ahí. Impacta.

Fuentes para investigar

Mini-biografía de M. C. Escher en Microsiervos.

Obras- M. C. Escher: The Official Website.

Escher Granada. Exposicion en la Ciudad de Granada.

Muros, selvas, caminos y puertas

(Extraido de: Tito Eliatron Dixit)

Vi un alto muro y como tenía la premonición de un enigma, algo que podría estar escondido detrás del muro, trepé por él con alguna dificultad. Sin embargo, al otro lado caí en una selva y tuve que abrirme camino con gran esfuerzo hasta que llegué a la puerta abierta, la puerta abierta de las matemáticas. A partir de aquí, caminos muy transitados conducían en todas las direcciones y desde entonces he pasado tiempo allí. A veces pienso que ya he recorrido todo el área, que ya he pisado todos los caminos y admirado todas las vistas, y entonces descubro de repente un nuevo camino y experimento nuevas delicias.

Maurits Cornelis Escher

Vía Boletín 204 (PDF) de la RSME.

Aparte de ser una cita del gran dibujante de la geometría, me ha encantado el símil que hace de la matemáticas con una especie de laberinto, en el que a cada paso que das, encuentras un nuevo camino inexplorado en el que adentrarte.

Fuente del video

"Los matemáticos entienden mejor a Escher". En Naukas.