La Conjetura de Goldbach

Un problema abierto

Estoy seguro de que a ustedes les habrá pasado alguna vez, que se tropezaron con una idea, pero no estaban tan seguros de que fuera cierta y se quedaron un rato pensándola. Si no les ocurrió nunca, empiecen ahora, porque nunca es tarde. Pero lo maravilloso es poder “entretener” en la cabeza de uno algún problema cuya solución sea incierta. Y darle vueltas, mirarlo desde distintos ángulos, dudar, empezar de nuevo. Enfurecerse con él. Abandonarlo para reencontrarlo más tarde. Es una experiencia inigualable: se las recomiendo.

En la historia de la ciencia, de las distintas ciencias, hay muchos ejemplos de situaciones como las que expuse en el párrafo anterior. En algunos casos, los problemas planteados pudieron resolverse sencillamente. En otros, las soluciones fueron mucho más difíciles, llevaron años (hasta siglos). Pero, como ustedes ya sospechan a esta altura, hay muchos, de los que todavía no se sabe si son ciertos o falsos. Es decir: hay gente que ha dedicado la vida a pensar que cierto problema tenía solución, pero no la pudieron encontrar. Y otros muchos que pensaron que era falso, pero no pudieron encontrar un contraejemplo para exhibir.

De todas formas, resolver alguno de los que aún permanecen “abiertos” traería fama, prestigio y también dinero al autor.

La Conjetura de Goldbach

Quiero hablar sobre una conjetura conocida con el nombre de “La Conjetura de Goldbach”.

El 7 de junio de 1742 (piensen entonces que ya pasaron casi 274 años), Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos), sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación porque a él no se le ocurría:

“Todo número par positivo, mayor que dos, se puede escribir como la suma de dos números primos.”

¿Qué es un número primo? Es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por uno. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos. Pero 6 y 15 no lo son. Seis no es primo porque es divisible por 2 y por 3, mientras que 15 no lo es porque es divisible por 3 y por 5 (además de 1 y 15). Ah, además, el número uno no se considera primo.

Pero volviendo a Goldbach, veamos algunos ejemplos en donde es muy fácil comprobar que la conjetura es cierta (escoja cualquier número par mayor que dos)

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

14 = 7 + 7 = 3 + 11

24 = 11 + 13 = 7 + 17

.....

84 = 11 + 73

100 = 3 + 97

268 = 5 + 263

870 = 7 + 863,

y así podríamos seguir.

En esta página podemos obtener la representación de un número par como la suma de dos números primos simplemente introduciendo el mismo (no encontré qué limite de cifras tiene este programa).

Al principio, Euler no le prestó demasiada atención al problema porque le pareció trivial. Bueno, trivial o no, Euler no pudo encontrar la demostración y, en realidad, luego de más de dos siglos y medio todavía no pudo ser resuelto por ningún humano.

La novela Uncle Petros & Goldbach’s Conjecture del escritor de origen australiano y criado en Grecia, Apostolos Doxiadis –publicada en 1992 en griego y traducida a diversos idiomas en el año 2000– es la que promovió que las compañías editoras Faber y Faber de Gran Bretaña y Bloomsbury Publishing de Estados Unidos ofrecieran un millón de dólares a quien pudiera resolver la Conjetura de Goldbach. El premio se lo podía llevar cualquier persona que diera una demostración durante los años 2000 y 2002. Nadie la encontró. Pero tampoco nadie encontró que fuera falsa.

Doxiadis es también reconocido como uno de los iniciadores de las novelas con “trama matemática” y, además, ha dirigido varias obras de teatro así como algunas películas.

Pero lo que importa en este caso es que la popularidad alcanzada por la novela devino en la oferta (que nadie pudo reclamar aún) de los editores. ¿Será acaso el turno de alguno de los lectores de estea entrada?

Desde 1742 hasta hoy nadie pudo resolver el problema, pero tampoco nadie pudo demostrar que fuera falso. En 1855 se sabía que los primeros 10.000 números la cumplían y en 1940 se llegó a los 100.000.

Hasta hoy (junio del 2016), se sabe que la conjetura es cierta para todos los números pares que sean menores que 4 x 10^18, o sea menores que ¡un número 4 seguido de dieciocho ceros! (Tomás Oliveira e Silva, abril 2012).

De todas formas, por más que las computadoras sigan avanzando, nunca llegarán a probarlo para todos los números. Para ello, se necesita una prueba abstracta, una teoría matemática que sea capaz de demostrar que Goldbach, profesor de matemática en San Petersburgo, tenía razón.

El desafío que presentó en su momento la empresa Faber fue un intento de conseguir la mayor publicidad posible para su último libro El tío Petros y la Conjetura de Goldbach. Igualmente, yo perdería las esperanzas: se calcula que en todo el mundo hay sólo 20 personas que podrían resolver esta conjetura. Y no me queda claro que sea ni quien esto escribe. Ni quien lo lee.

La carta de Goldbach enviada a Euler el 7 de Junio de 1742.https://t.co/fOSWtGDdIz
"Conjetura de #Goldbach" #Efeméride140

— Jamessi (@jamessi_) 8 de junio de 2016

Conjetura 'débil' de Goldbach

Para terminar, quiero dejar planteada otra conjetura también sugerida por Goldbach, conocida con el nombre de “La Conjetura débil de Goldbach”, que dice que todo número impar mayor que cinco se escribe como la suma de tres números primos. En el año 2013, este último fue demostrado por Harald Helfgott, investigador del CNRS. Desde los trabajos de Vinogradov en 1937 se sabía que la conjetura débil era cierta para números mayores que una cierta constante, pero esa constante era tan gigantesca que imposibilita cualquier verificación por ordenador de los casos restantes. Un nuevo enfoque permitió a Helfgott reducir la cota, convirtiendo la comprobación final de la conjetura en "una tarea computacional menor".

Se cree firmemente que la conjetura de Goldbach es cierta. ¿Hay algún argumento que pueda convencernos de ello?. Pues si, uno muy simple:cuanto mayor es un número par mayor es el número de formas con las que se podemos expresarlo como la suma de dos números.Por tanto, mayor es la probabilidad de que exista una forma de escribirlo en la que los dos números sean primos.

Si bien toda conjetura puede resultar falsa, la opinión “educada” de los expertos en teoría de números es que lo que pensó Goldbach es cierto y sólo es una cuestión de tiempo hasta que aparezca la demostración.

Francis en ¡Eureka!: Demostrada la conjetura débil de #Goldbach https://t.co/GDklw4ONhD vía @emulenews#Nota140 pic.twitter.com/dkJ177utxn

— Jamessi (@jamessi_) 13 de mayo de 2016

Fuentes de origen

Un artículo original de Adrián Paenza, en Págin12. Ver.

Fuentes en este blog

La Conjetura débil (o ternaria) de Goldbach.
En Naukas: Demostrada la Conjetura débil de Goldbach
EL MAT3MÁTICO IMPAR. Entrevista a Harald Helfgott.
En el blog de Harald A. Helfgott. (Sobre su demostración, explicado)
La Conjetura de Collatz.

[VIDEO] Conjetura de Goldbach

En este nuevo vídeo, el divertido matemático Eduardo Saenz, nos pregunta ¿Eres capaz resolver uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas?. Nos habla sobre la Conjetura de Goldbach.

Anexo: 

Carta enviada el 7 de junio de 1742

La carta de Goldbach enviada a Euler.