El matemático David Hilbert fue sin duda un matemático genial que marcó con su creatividad las matemáticas de su época. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en matemática fue en el Primer Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, celebrado en París, donde propuso los veintitrés problemas más importantes que, hasta ese entonces, no tenían solución. Liderando la llamada escuela formalista que buscaba desarrollar la Matemática solo a partir de la coherencia de su propio discurso. sin buscar parentesco de sus objetos básicos con la realidad. Hilbert dijo:
Wir müssen wissen, wir werden wissen ('Tenemos que saber, y vamos a saber').
—David Hilbert, en el Congreso Internacional de Matemáticas en 1900.
Irónicamente, el día antes de que Hilbert pronunciase esta frase,
Kurt Gödel presentaba su tesis, que contenía el famoso teorema de incompletitud: hay cosas que sabemos que son ciertas, pero que no podemos probar.
KURT GÖDEL
Kurt Gödel nace 1906 en Brün, Moravia, cuando esta ciudad aún forma parte del Imperio Austro-Húngaro, hijo de expatriados alemanes sin demasiada instrucción. Kurt fue un estudiante brillantísimo, inquisitivo, tanto que fue apodado
'der Herr Warum' ("el señor Porqué"), por su insaciable curiosidad, sensible, introvertido y bastante enclenque.
En 1924 abandonó su país natal para matricularse en la universidad de Viena, con la intención de hacer física, pero impresionado por las lecciones de
Philipp Furtwängler y
Hans Hahn se orientó hacia las matemáticas. Por aquel entonces ya había padecido unas fiebres reumáticas que habían dejado ciertas secuelas psicológicas que marcarían para siempre su carácter y que se traducían en una preocupación hipocondríaca por su salud y, especialmente, por todo lo que tuviera relación con la alimentación.
EL CÍRCULO DE VIENA
La Universidad de Viena, a pesar de estar sumida en una fuerte depresión económica, se había convertido en un centro cultural de referencia obligada. En 1926 fue invitado a un seminario con el filósofo Moritz Schlick, a un grupo cuyo nombre pronto sería famoso: el Círculo de Viena, que se inspiraba en los escritos de Ernst Mach, un campeón del racionalismo antimetafísico. Allí entró en contacto también con el filósofo Rudolf Carnap y con el matemático
Karl Menger, quienes le ayudarían a familiarizarse con la lógica matemática y la filosofía.
Por entonces el Círculo se había enfrascado en los escritos de Wittgenstein, cuya obsesión por el lenguaje que habla del lenguaje (metalenguaje) pudo inducir a Gödel a sondear cuestiones similares en matemáticas.
Por extraño que nos pueda parecer ahora, en el Círculo de Viena se investigaban los fenómenos parapsicológicos, en los que Gödel estaba profundamente interesado. Según manifestó a un amigo íntimo, no acababa de comprender cómo era posible que se hubieran investigado las partículas elementales de la física y no se hubiera hecho lo mismo con las de la psique.
EL TEOREMA DE INCOMPLETITUD
Gödel se doctoró en 1930 con un trabajo, dirigido por Hans Hahn, titulado La completitud de los axiomas del cálculo lógico de primer orden, un tema estrechamente relacionado con el programa formalista de Hilbert. A primeros de setiembre de ese mismo año asistió a un congreso sobre Epistemología de las Ciencias Exactas en Königsberg, al que acudieron Carnap, Heyting, J. von Neumann y Waismann. En él manifestó de manera clara sus dudas sobre la posibilidad de llevar a cabo el programa formalista de Hilbert y anunció algunos de sus resultados sobre la incompletitud de la aritmética.
Poco tiempo después, en 1931, y con tan sólo 25 años, publicó su famoso Teorema de Incompletitud (técnicamente "teoremas de incompletitud", en plural, como en realidad habían dos teoremas por separado, aunque por lo general se habla de ellos juntos), que iba a socavar los firmes cimientos en los que se apoyaba la Matemática. A pesar de que el contenido del teorema versaba sobre temas muy especializados, obtuvo un eco internacional asombrosamente rápido y amplio, que le valió el cargo como profesor privatdozent en la Universidad de Viena.
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| Gödel’s Incompleteness Theorem |
Los dos teoremas de Incompletitud — seguramente la peor pesadilla de un matemático — forman parte de una larga polémica relativa a los fundamentos de las matemáticas, levantando el espectro de un problema que puede llegar a ser verdad pero todavía indemostrable, algo que ni siquiera había sido considerado en mas de dos milenios en la historia de las matemáticas.
Gödel efectivamente, propinó el golpe mortal a los esfuerzos de matemáticos como Bertrand Russell y David Hilbert, quienes trataron de encontrar un conjunto completo y coherente de axiomas para todas las matemáticas. Demostrando que los sistemas formales en general, no estaban en capacidad de probar su propia consistencia.
PRINCETON
En sus tiempos de estudiante, Gödel conoció en un local nocturno a una bailarina, seis años mayor que él, que se llamaba Adele Porkert, con la que mantuvo un largo noviazgo y con la que acabó casándose en setiembre de 1938, a pesar de la fuerte oposición de toda su familia. Hacía ya nueve años que Gödel había renunciado a su nacionalidad checa, para adquirir la Austríaca. Su situación económica era muy mala y estaba a punto de ser reclutado en las filas del ejército nazi. No sería exagerado afirmar que, hasta ese mismo momento, no se había enterado de nada de lo que estaba sucediendo a su alrededor en el terreno de la política.
Anteriormente había realizado algunos viajes a Estados Unidos, concretamente para visitar el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, en donde hizo varios contactos que le sirvieron para obtener los visados necesarios y poder emigrar a los EE.UU. En enero de 1940 inició junto a su mujer un viaje, con tintes de aventura, que les llevó, por medio del transiberiano, hasta Yokohama y desde allí hasta San Francisco. En 1953 fue nombrado catedrático en Princeton y ya nunca más regresó a Europa. En 1946 obtuvo la ciudadanía americana, aunque a punto estuvo de no conseguirla. Cuando el juez que le tomó juramento le pidió su opinión sobre la constitución, Gödel le respondió, en una detallada disertación, todo lo que pensaba al respecto y al juez le quedó claro cuales eran las numerosas contradicciones sobre las que se sustentaba la constitución de su país.
En su estancia en Princeton entabló relación con Einstein y trabajó en la Teoría de la Relatividad, demostrando la posibilidad de viajes en los que se pudiera volver hacia atrás en el tiempo. Su último artículo apareció en 1958 y su última aparición en público, con motivo de un premio honorífico de la Universidad Rockefeller, en 1972.
EL FINAL DE GÖDEL
Desafortunadamente, los
teoremas de incompletitud también condujeron a una crisis personal para Gödel. A mediados de la década de 1930, sufrió una serie de crisis mentales y pasó un tiempo significativo en un sanatorio. Sin embargo, se lanzó al mismo problema que había destruido el bienestar mental de
Georg Cantor durante el siglo anterior, la
Hipótesis del Continuo.
De hecho, dio un paso importante en la resolución de ese problema notoriamente difícil (demostrando que el axioma de elección no se puede demostrar con los otros axiomas de la teoría de conjuntos), sin la cual
Paul Cohen probablemente nunca habría podido llegar a su solución definitiva. Como Cantor y otros después de él, Gödel también sufrió un deterioro gradual en su salud mental y física.
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| Kurt Gödel (1906-1978) |
Es importante resaltar el papel que jugó su mujer Adel en este asunto, ya que sin su ayuda es muy probable que Gödel no hubiera podido hacer nada de lo que hizo. Ella le hacía todas las comidas y siempre las probaba antes de que él las comiera, pues vivía con el temor de morir envenenado.
Tras una larga hospitalización de ella, el más grande de los lógicos con la más lógica más absurda, para no morir envenenado se dejó morir de hambre el 14 de enero de 1978. De acuerdo con la autopsia, Kurt Gödel pesaba apenas 32 kilogramos cuando falleció en un hospital de Princeton.
Escribiendo este final recuérdese aquí también la muerte de otro matemático en las mismas condiciones. El alejandrino Eratóstenes también murió de inanición hace ya más de dos mil años.
Fuentes de origen y para profundizar:
El título de este artículo es en referencia al ensayo "
Sócrates en Viena. Una biografía intelectual de Kurt Gödel", de
Enrique Alonso (2007).
Kurt Gödel: la absurda vida de un lógico. Por Héctor Rago.
Gödel y los límites de la lógica. Por John W. Dawson.
20 TH CENTURY MATHEMATICS - GÖDEL.
Sobre los teoremas de incompletitud:
"Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel". En
Gaussianos.
"Existencia de dios a priori y lógica de Gödel, explicación de demostración y fundamentos de la lógica modal". Por Eduardo Ruiz Duarte (en
Beck's Blog).
La demostración de Gödel de la existencia de Dios. Por
Francisco R. Villatoro.
Computers, Paradoxes and the Foundations of Mathematics, de
Gregory Chaitin.
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