¿Hay infinitos más grandes que otros?. Georg Cantor

Comenzaba el siglo XX (o terminaba el XIX, como prefiera), un alemán de origen ruso llamado Georg Cantor —San Petersburgo, 1845-Halle, 1918— se levantó un día en clase, es un decir, y tuvo las agallas y el cerebro, claro, de decirle al profesor en su mismísima cara, que Aristóteles estaba equivocado. Que hacía veinticinco siglos que la ciencia estaba equivocada. Porque él, Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, estaba en condiciones de probar que el infinito matemático no era una simple forma de hablar, ni un ente difuso y borroso que se alojaba en algún remoto lugar de la geometría del plano complejo, sino que era tan real como las matemáticas mismas y que él lo había tocado con sus propias manos, otro decir.

Cantor, ca. 1870

La manera que tuvo Cantor de ponerse en pie en clase, subirse encima del pupitre y cantar su verdad al inflexible maestro, fue escribir un trabajo demoledor, por su demoledora belleza y porque dinamitaba algunos de los sacrosantos pilares de la ciencia oficial de su tiempo: Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Una investigación matemático-filosófica sobre la teoría del infinito (1883), texto conocido como Grundlagen por su título original en alemán.

En Grundlagen suelta así su carga de profundidad:

Me he visto lógicamente obligado casi contra mi voluntad, por ir contra las tradiciones tenidas como válidas por mí en el curso de muchos años de esfuerzos y ensayos científicos, a considerar las magnitudes infinitas no sólo en la forma de ilimitadamente crecientes, y en la forma estrechamente ligada a ello de series infinitas convergentes, que se introdujo por primera vez en el siglo XVII, sino también a fijarlo mediante números en forma de infinito matemático perfecto, y por eso tampoco creo que a ello se puedan oponer razones válidas contra las que yo no pudiera combatir.

Cantor va literalmente más allá y demuestra que no hay un único infinito, sino múltiples infinitos, y hasta se atreve a medir la diferencia entre sus tamaños; por ejemplo, entre el cardinal del conjunto de los números enteros y el cardinal del conjunto de los puntos que forman la recta real, cuya comparación le llevará a establecer su famosa Hipótesis del Continuo.

Acorralado por la ortodoxia universitaria de su tiempo, liderada por su antiguo profesor, el temible Leopold Kronecker, por ciertos filósofos y representantes de la religión oficial —llegó a escribir una carta pidiendo su intercesión al papa León XIII, autor de una reformadora encíclica sobre la conciliación entre investigación científica y fe—, arrumbado en las aulas de una universidad de segunda fila, Georg Cantor acabó —o tal vez empezó—, sufriendo un síndrome maníaco-depresivo, encerrado durante meses en su cuarto, a solas consigo mismo y sus conjeturas, y tratando, entre otros asuntos, de demostrar que Francis Bacon era en realidad el autor de las obras de Shakespeare.

De hecho, su indagación en estas arenas movedizas, en un punto donde las fronteras entre ciencia, filosofía y teología se cruzan una y otra vez, le generó no pocos problemas de conciencia, por lo que era habitual que tanto en sus trabajos como en su correspondencia invocase a Dios para subrayar que con su obra no pretendía en ningún momento ser blasfemo ni ofender a los creyentes, sino simplemente profundizar en el conocimiento de los objetos matemáticos.

Georg Cantor se apagó en la Nervenklinik de la Universidad de Halle el 6 de enero de 1918, mientras Europa jugaba una vez más a la autodestrucción en esa Gran Guerra que anticipaba ya una Segunda Guerra Mundial y quién sabe qué otras hecatombes.

Pero antes de desvanecerse, Cantor nos había regalado su teoría de conjuntos, había forjado los números transfinitos y había prometido, muy al estilo de Fermat, una demostración de su Hipótesis del Continuo que ya jamás escribió. Difícilmente podría haberlo hecho porque, aunque Kurt Gödel, otro gigante incomprendido, dedujo en 1939 que la Hipótesis del Continuo era compatible con el sistema de axiomas que se utiliza habitualmente en matemáticas, Paul Cohen probó en 1963 que la hipótesis de Cantor es en realidad independiente de ese sistema de axiomas, llamado de Zermelo-Fraenkel. Pero hasta entonces —como sucedió con ese último teorema que Fermat no demostró porque dijo que no tenía espacio para detallar la prueba en los márgenes de la Aritmética de Diofanto que estaba anotando— todos los matemáticos soñaron con probar la Hipótesis del Continuo.

Porque, pase lo que pase, como dijo en 1925 nada menos que David Hilbert:

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Anexo (El Hotel Infinito de Hilbert) 

El Hotel Infinito de Hilbert es una construcción abstracta inventada por el matemático alemán David Hilbert. Esta paradoja explica, de manera simple e intuitiva, hechos paradójicos relacionados con el concepto matemático de infinito (más exactamente con los cardinales transfinitos introducidos por el matemático Georg Cantor).

Finalmente les dejo este corto muy explicativo sobre las ideas expuestas. Pincha en la imagen para que puedas ver el video completo (en español).

Anexo (La hipótesis del Continuo):

Georg Cantor creía que el enunciado de la hipótesis del continuo, formulada en 1878, era cierto e intentó probarlo infructuosamente. El problema llegó a ser tan célebre que David Hilbert la incluyó en su célebre lista de 23 problemas que presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) del año 1900. Y no solamente la incluyó, sino que lo colocó en el primer lugar de su lista. 

Hipótesis del continuo
No existe ningún conjunto A tal que su cardinal |A| cumpla:

${\displaystyle \aleph _{0}<|A|<2^{\aleph _{0}}}$ (i. e. no hay ningún infinito entre los naturales y los reales)

Y fue precisamente en otro ICM en el que la hipótesis del continuo fue auténtica protagonista. El 10 de agosto de 1904, dentro del ICM que se estaba celebrando en la ciudad alemana de Heidelberg, el matemático ruso Julius König impartió, con Hilbert y Cantor presentes, una conferencia en la demostró que la hipótesis del continuo era falsa. Sin embargo, semanas después se descubría que la demostración contenía un error (lo descubrió Zermelo), por lo que la hipótesis del continuo continuaba sin demostración.

Georg Cantor había realizado grandes esfuerzos para demostrar este resultado, pero no llegó a conseguirlo. 

Todo el mundo pensaba que la hipótesis del continuo sería probada cuando se hubieran construido las técnicas necesaria, cuando el edificio matemático hubiera llegado lo suficientemente alto. Pero en 1963, un matemático de 23 años sorprendió a la comunidad matemática con un descubrimiento que derrumbaría el sueño de Cantor y de Hilbert. Paul Cohen, de la Universidad de Stanford, logró demostrar que la hipótesis del continuo es una de esa proposiciones indecibles, aquellas que Gödel había demostrado que existían pero que nadie se las había topado. Nunca podría demostrarse si la hipótesis del continuo es falsa o verdadera.

Otras fuentes para profundizar:

Hipótesis del Continuo. Wikipedia

Tipos de infinitos, numerabilidad, axioma de elección y paradojas. Beck's blog.

Georg Cantor y la teoría de conjuntos transinfinitos. Por Joseph W. Dauben.

La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen. En Gaussianos.

How many kinds of infinity are there? asked Georg Cantor (1845-1918) pic.twitter.com/jJssEv6rMm

— IMO 2016 (@imo2016) 14 de junio de 2016