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| Retrato de Bernard Bolzano |
Nació el 5 de octubre de 1781 en Praga.
En 1796, ingresó en la Facultad de Filosofía en la Universidad de Praga, donde estudió Filosofía yMatemáticas. Completa sus estudios de Teología y se ordena sacerdote en 1805; ese año fue designado profesor de filosofía de la religión en la Universidad de Praga.
En 1819 es depuesto del cargo por su pensamiento liberal. En metafísica se opuso a Immanuel Kant, reivindicando el carácter constructivo, y no simplemente regulativo de algunas ideas metafísicas como las relativas a Dios y a la mortalidad del alma. Publicó obras tan importantes como Una Prueba Pura Analítica, (1817), dicha prueba analítica se conoce hoy como teorema de Bolzano, Athanasia o pruebas de la inmortalidad del alma ( 1827), Tratado de la Ciencia de la Religión (1834), Teoría de la ciencia (1837) y Paradojas de lo infinito (1851).
Su trabajo sirvió de base e influyó en el desarrollo de la teoría de conjuntos de Georg Cantor en matemáticas y en el desarrollo de la fenomenología de Edmund Husserl en filosofía.
Bernhard Bolzano falleció en Praga el 18 de diciembre de 1848.
Otras fuentes relacionadas:
Euclides, el médico de Bolzano.
Teorema de Bolzano
Sea f una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0.
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| Teorema de Bolzano |
El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Cauchy da una demostración en 1821. Ambos perseguían el fin de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Lagrange. La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio es de larga data.
Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución: el algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración. Antes de que la definición formal de continuidad existiera, la propiedad del valor intermedio era dada como parte de la definición de función continua.
Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio, por lo que no requiere de prueba.
La visión de Bolzano y Cauchy fue la de definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimales en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada en tales definiciones.
Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución: el algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración. Antes de que la definición formal de continuidad existiera, la propiedad del valor intermedio era dada como parte de la definición de función continua.
Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio, por lo que no requiere de prueba.
La visión de Bolzano y Cauchy fue la de definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimales en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada en tales definiciones.
El recíproco del teorema es falso. No es necesario que una función sea continua para que la conclusión del teorema de los valores intermedios sea cierta. En 1875, Darboux demuestra que las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen la propiedad de los valores intermedios (ver Teorema de Darboux).
Termino este post compartiendo una curiosa imagen del profesor @druizaguilera:
— Daniel Ruiz Aguilera (@druizaguilera) enero 20, 2014
Otras fuentes relacionadas:
Euclides, el médico de Bolzano.
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