Jamessi: Derivada de una función par

jueves, 22 de octubre de 2015

Proposición: La derivada de una función par [diferenciable], es una función impar.

Demostración: Suponga que $f(x)$ es una función par diferenciable. Considere la función

$a(x) = \frac {f(x) + f(-x)}{2}$

Primero mostraremos que $a(x) = f(x)$ . Como $f(x)$ es par, tenemos

$f(x) = f(-x)$ .

Por consiguiente, $a(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$ .

Ahora, vamos a derivar $f(x)$ . Tenemos

$f'(x) = a'(x) = \frac{(f(x)+f(-x))'}{2} = \frac{f'(x) - f'(-x)}{2}$

donde el último paso se sigue de la regla de la cadena.

Y como

$f'(-x) = a'(-x) = \frac{f'(-x) -f'(x)}{2} = -\frac{(-f'(-x)+f'(x))}{2} = -a'(x) = -f'(x)$

vemos que la derivada de $f(x)$ es una función impar.

Jamessi