Karl Menger (1902-1985)
Ahora las imágenes hablan ya por sí mismas. El proceso de elaboración de la alfombra de Sierpinski es muy semejante a su triángulo . Dividimos un cuadrado de lado unidad inicial en nueve cuadrados idénticos y recortamos el central. Repetimos el proceso en cada iteración.
En la iteración n-ésima persisten:
Nn = 8n ,
cuadrados. Cada uno con un lado de longitud:
Ln = (1/3)n .
El área total en la n-ésima iteración será:
An= Ln2 Nn = (8/9)n .
Así que en el límite de iteraciones tendiendo a infinito, la alfombra de Sierpinski está tan apolillada que su superficie es nula. Esto no parece sorprendente. Al menos hasta que no calculamos su perímetro, que efectivamente es: ¡infinito!
Si partimos de un cubo en tres dimensiones y aplicamos un proceso semejante al de la alfombra de Sierpinski , obtendremos la esponja de Menger. En vez de eliminar pequeños cuadrados, eliminamos pequeños cubos.
La esponja de Menger es un conjunto fractal descrito por primera vez en 1926 por Karl Menger, y es una “versión tridimensional” de la alfombra de Sierpinski. Este inocente cubo posee algunas características absolutamente desconcertantes: ¡su superficie es infinita y su volumen nulo!
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