Los números primos de Mersenne

El 39 primo de Mersenne tiene 4.053.946 dígitos. Descubierto por Michael Cameron
el 14 de noviembre del 2001

Un breve recorrido en la Historia...

Muchos matemáticos consideraron que los números de la forma 2ⁿ -1 eran primos para todos los números primos n, esto era mucho antes que existieran las computadoras. 

No fue hasta el año 1536 cuando Hudalricus Regius mostró por primera vez que si el valor de n era 11, es decir, 2¹¹ -1 = 2047 no era primo (verificó que 2047 era el producto de 23 y 89).

Tiempo después, en el año 1603 Pietro Cataldi había verificado correctamente que los números 2¹⁷ -1 y 2¹⁹ -1 eran ambos primos, pero luego declaró incorrectamente que los números 2ⁿ -1 también son primos para: 23, 29, 31 y 37. 

Cuarenta años más tarde, el jurista Pierre de Fermat demostró en el año 1640 que Cataldi estaba equivocado respecto al 23 y 37.

Tuvo que pasar casi un siglo para que Leonhard Euler en 1738 demostrara que Cataldi también estaba equivocado acerca del 29. Tiempo después, y nuevamente, Euler demostró la afirmación de Cataldi sobre el 31 era correcta.

Es aquí donde nos encontramos, en esta lectura, con Marine Mersenne (1588-1648). Mersenne afirma en el prefacio de su Cogitata Physica-Mathematica (1644) que los números 2ⁿ -1 eran primos para

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 

y estaban compuestos por todos los demás números enteros positivos n < 257. Esta conjetura (incorrecta) de Mersenne mejora ligeramente la 'lista de Regius', y consigue que su nombre quede ligado a estos números.

Definición: Cuando 2ⁿ -1 es primo se dice que es un primo de Mersenne.

Era obvio, para los amigos de Mersenne, que él mismo no podía haber probado para todos estos números (de hecho él lo admitió), pero ellos tampoco lo pudieron demostrar. No fue hasta más de 100 años después, en 1750, que Euler verificó el siguiente número de Mersenne (y la 'lista de Regius'), es decir, que 2³¹ -1 era primo. Después de casi un siglo, en 1876, Lucas verifica que 2¹²⁷-1 también era un número primo. 

Siete años más tarde Pervouchine mostró 2⁶¹-1 también era primo, así que Mersenne se le había escapado éste. En la década de 1900 Ralph E. Powers demostró que Mersenne también había olvidado los números primos 2⁸⁹-1 y 2¹⁰⁷-1. Finalmente, en 1947 el rango de los números de Mersenne, n < 258, había sido comprobado en su totalidad, y se determinó que la lista correcta es:

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.

Todavía no se sabe si el número de primos de Mersenne es finito o infinito. Ver la lista de los números de Mersenne, actualizada hasta hoy, ocubre 2015.

El 23 número primo de Mersenne tiene 3.376 dígitos (1963)

Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)

GIMPS es uno de los proyectos de computación distribuida de más éxito. Aprovecha la potencia combinada de miles de ordenadores, que de otro modo permanecerían inactivos, dedicándolos a realizar los cálculos necesarios para comprobar si los números de mersenne son primos. Actualmente son miles de voluntarios que participan en este proyecto, entre los que se encuentran usuarios domésticos, estudiantes, colegios, universidades y empresas de todo el mundo.

¿Cuántos números primos de mersenne conocemos?

El proyecto GIMPS se inició en 1996 y usa el software Prime95 desarrollado por su fundador George Woltman; hoy se usa la red PrimeNet desarrollada por Scott Kurowski y coordinada por Aaron Blosser. 

GIMPS ha encontrado todos los primos de Mersenne desde el trigésimo quinto (35º) al quincuagésimo (50º). La demostración de la primalidad del último primo ha costado unos seis días de cómputo en el PC de Jon Pace que usa un procesador Intel i5-6600.

Por supuesto, las reglas del premio exigen que el nuevo primo sea verificado de forma independiente usando otros programas; en este caso ha sido verificado por Aaron Blosser (Prime95), David Stanfill (gpuOwL), Andreas Höglund (CUDALucas), Ernst Mayer (Mlucas) y Andreas Höglund (Mlucas). El éxito del proyecto GIMPS se apoya en los miles de voluntarios que dedican tiempo de sus ordenadores personales a verificar la primalidad de los sucesivos candidatos a primos de Mersenne.

La página web del proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) incluye el listado de todos los primos de Mersenne conocidos (listado), el software Prime95 para descargar y las reglas oficiales del premio.

El proyecto GIMPS necesita voluntarios, cuantos más mejor. Que el 26 de diciembre de 2017 se haya descubierto el quincuagésimo primo de Mersenne es una excusa perfecta para que te apuntes como voluntario. ¿Te animas?.

Actualizado el 1 de septiembre de 2018 (en honor al aniversario luctuoso de M. Mersenne).

Fuentes relacionadas para profundizar

Recomiendo el blog de Gaussianos.com.
Frank N. Cole - Biography en MacTutor.

Otras fuentes de consulta

(2015) El último primo de Mersenne M48, Curtis Cooper.
Una interesante historia sobre Los números primos de mersenne.
El proyecto GIMPS encuentra el quincuagésimo primo de mersenne. En La Ciencia de La Mula Francis. 
Biografía sobre Marin Mersenne.