La historia de cómo R. Hamilton descubrió los cuaterniones

Sello por conmemoración de 200° aniversario de nacimiento (2005)

La historia de la ciencia está plagada de historias apócrifas, como la de Newton y su manzana, o la del hijo de Hamilton preguntándole a su padre, “papá, ¿ya has podido multiplicar tripletes?,” contestando reiteradamente éste, “no hijo, sólo puedo sumarlos y restarlos.” El divertido y curioso artículo de los franceses Sophie Morier-Genoud y Valentin Ovsienko, “Well, Papa, can you multiply triplets?,” ArXiv preprint, 30 Oct 2008 , aprovecha dicha frase para presentarnos una nueva visión algebraica de los cuaterniones como un álgebra graduada conmutativa (dicha visión no es posible para los octoniones). 

De esta manera, aunque no logran “multiplicar” tripletes, sí logran “sumarlos”.

Los aficionados a la matemática disfrutarán con su fácil lectura.

Brougham Bridge en medio de Broombridge Road, Dublín

Se dice que Hamilton descubrió el producto de los cuaterniones, tras más de dos décadas de darle “al coco” buscando el producto de tripletes (que es imposible), mientras paseaba por el puente Brougham Bridge de Dublín, en el que actualmente se puede contemplar la placa que vemos al final.

Por cierto, si vais a Dublín, no busquéis el puente “Brougham” (pronunciado en irlandés como “broom”) sino el puente “Broome” que se encuentra en la calle “Broombridge Road.” Desde el centro de la ciudad tenéis que tomar el bus número 20, por ejemplo, en la parada de O’Connell Street, al sur de Parnell Square [palabras de Baez en Dublin].

Hamilton no encontraba la manera de multiplicar dos números complejos, o, y por lo mismo, no veía cómo construir un álgebra consistente con las tripletas. Son muchos los años que se dedica a pensar sobre esta cuestión.

Un día de octubre de 1843, estaba de paseo con su mujer, por la orilla del canal real, cuando de pronto se le ocurrió la solución. Debía pasar de tres a cuatro coordenadas y además prescindir de la propiedad conmutativa. Las unidades, i, j, k, debían estar sometidas a las siguientes condiciones: i2 = j2 = k2 = ijk= –1. Los nuevos objetos, que llamó cuaterniones (o cuaternios), son de la forma a + bi + cj + dk.

El propio Hamilton recordará así, quince años después, su gran descubrimiento: 

«Mañana será el décimoquinto cumpleaños de los cuaterniones. Surgieron a la vida, o a la luz, ya crecidos, el 16 de octubre de 1843, cuando me encontraba caminando con la Sra. Hamilton hacia Dublín, y llegamos al puente de Broughman. Es decir, entonces y ahí, cerré el circuito galvánico del pensamiento y las chispas que cayeron fueron las ecuaciones fundamentales entre i, j, k; exactamente como las he usado desde entonces. Saqué, en ese momento, una libreta de bolsillo, que todavía existe, e hice una anotación, sobre la cual, en ese mismo preciso momento, sentí que posiblemente sería valioso el extender mi labor por al menos los diez (o podían ser quince) años por venir. Es justo decir que esto sucedía porque sentí, en ese momento, que un problema había sido resuelto, un deseo intelectual aliviado, deseo que me había perseguido por lo menos los quince años anteriores.»

Para Hamilton, el descubrimiento de los cuaterniones fue su mayor descubrimiento. De hecho, se creó en las Islas Británicas la “secta” de los “cuaternionistas” que “ocultaba” ciertos secretos mágicos en la matemática de estos números que les permitía resolver problemas que otros matemáticos eran incapaces. A finales del s.XIX la interpretación de las rotaciones en el marco de las recién inventadas matrices relegó a los cuaterniones al reducto de los matemáticos. Actualmente su usan en gráficos por ordenador para interpolar rotaciones (interpolar matrices ortogonales garantizando la ortogonalidad es algo “ligeramente” más complicado).

(Profundizar en "La liberación del Álgebra")

Anexo: ¿Que son los cuaterniones? 

Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Están formados por dos partes, la parte real, o escalar, y el resto que es la parte vectorial. Precisamente, la palabra vector es debida al propio Hamilton. De este modo, la multiplicación de cuaterniones puede realizarse utilizando las reglas algebraicas de los números reales, sin más que tener en cuenta que no se verifica la propiedad conmutativa y que las nuevas unidades, i, j, k, cumplen las igualdades: i2 = j2 = k2 = ijk= –1. Resumiremos esto en la Tabla de Cayley.

1, i, j y k son la bases de las componentes de un cuaternión

Para los no aficionados al álgebra, que habrán entendido poco, no quiero explayarme, al menos sirva el recuerdo al genial Hamilton y sus cuaternios.

Ver: ¿Para qué sirven los cuaterniones?

William Rowan Hamilton: Quaternion's man

Acabo de encontrar este divertido video al respecto. Es muy divertido espero lo vean hasta el final y que lo disfruten amigos.

William Rowan Hamilton - Quaternion's man 

(Science YouTuber Collab) A Capella Science https://t.co/MEoIHIfWGF

— Francis Villatoro (@emulenews) 10 de octubre de 2016