El llamado Teorema de Pitágoras en la Proposición I.47 de Los Elementos de Euclides
El primer Libro I de Los Elementos de Euclides termina con el teorema más importantes de la Geometría elemental: El Teorema de Pitágoras y su recíproco (las Proposiciones I.47 y I.48), donde alcanza una verdadera apoteosis geométrica la forma magistral y sumamente bella con que el maestro alejandrino realiza la proeza de demostrar el legendario teorema, con una lógica impecable, una inusitada elegancia y una modesta economía de elementos geométricos construidos de forma muy cuidadosa en las proposiciones anteriores.
Proposición I.47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es equivalente a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
Al no poder utilizar las proporciones en forma pitagórica –por la presencia inexorable de las magnitudes inconmensurables– que suponen la aplicación de la semejanza –que no aparecerá en Los Elementos hasta el Libro VI–, Euclides agudiza el ingenio y obtiene el magnífico resultado aplicando para su demostración, además de algún que otro postulado y axioma, elementos muy simples de Geometría elemental, estudiados previamente.
 |
| El Teorema de Pitágoras y su inverso –Proposiciones I.47 y I.48 de Los Elementos de Euclides– en la edición de Rodrigo Çamorano, primera en idioma castellano, Sevilla, 1576 |
Por desgracia la sencilla demostración de la Proposición I.48 se ignora en los libros de texto aunque es utilizada implícitamente tanto como el propio Teorema de Pitágoras y ello desde los antiguos agrimensores egipcios. De hecho, es curioso que mientras cualquier persona se enfrenta al Teorema de Pitágoras en su etapa escolar, muy pocas personas conocen la demostración del teorema inverso, aunque están seguros de su legitimidad y de hecho lo aplican cuando es necesario. Las dos proposiciones, I.47 y I.48 constituyen una unidad secuencial con la que se alcanza un brillante clímax geométrico en el colofón del Libro I de Los Elementos, ya que tomadas en conjunto caracterizan por completo los triángulos rectángulos, es decir:
Proposicón I.48. Un triángulo es rectángulo si y sólo si el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre los catetos.
En la Introducción general de la edición de Gredos de Los Elementos de Euclides (Libro I, pp.66–67), así como en el capítulo 4.2.4 de su obra La Trama de la Demostración (Alianza Editorial. Madrid, 1990, p.321), Luís Vega escribe:
"El carácter elemental de I.47 y I.48 convierte ambos teoremas en un broche de oro del Libro I desde un punto de vista disciplinario; son una viva muestra de la capacidad de Euclides para dominar por medios relativamente sencillos buena parte de la tradición geométrica antigua. […]. La prueba de esta versión, a todas luces propia de Euclides, discurre al margen de la teoría de la proporción y del recurso a la semejanza de triángulos […] lo que contribuye a hacer significativa la opción de Euclides en el contexto del Libro I, por un desarrollo inicial y sistemático en los términos elementales de la aplicación y transformación de áreas.[…]. Revela, además, la capacidad de Euclides para reconstruir de modo sistemático un legado antiguo y forjar nuevas pruebas que se adecuen a esta reconstrucción".
El teorema de #Pitágoras en varios idiomas: http://t.co/fHjVnPHVqx … @jamessi_ La demostración euclidiana, específicamente. Prop. I.47
— HistoMat (@HistoMat) julio 11, 2014
No hay comentarios:
Publicar un comentario