Irracionalidad de sqrt(2)

Encontré una colección de demostraciones matemáticas, sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, es una de las cien demostraciones más populares en la historia.

Demostración de la irracionalidad de raíz de 2.--Ver otras 27 pruebas aquí: http://bit.ly/1uAV2r9
Posted by James Tesen Garay on dimanche 17 mai 2015

Teorema: La raíz de 2 es irracional.

Sean m y n dos números enteros cualesquiera. Trabajando módulo 3 podemos verificar fácilmente que la expresión m² + n² es divisible entre 3 si y sólo si tanto m como n son divisibles entre 3.

Supongamos entonces que √2 es racional y que √2 = a/b donde a y b son números enteros y coprimos. Al elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad anterior se obtiene que 2 = a²/b², de donde se sigue que a² = 2b². Si sumamos b² en ambos miembros de la igualdad previa se llega a que a² + b² = 3b². Esto indica que la expresión a² + b² es divisible entre 3; la observación hecha en el párrafo anterior nos permite concluir entonces que 3 es divisor común de a y b.

Esto contradice el supuesto de que a y b no tenían divisores en común mayores que 1 y la demostración concluye.

(Esta demostración la contribuyó el profesor argentino Enzo Gentile a la Mathematics Magazinehace muchos años.)

Para conocer otras 27 pruebas aquí. Ver.