El pasado mes de mayo (de 2013) se difundió velozmente a través de la red que había sido demostrado un problema propuesto hace más de 270 años. Un problema sencillo de enunciar, pero muy difícil de demostrar. ¿Qué problema se ha resuelto? En 1742, el matemático Christian Goldbach le preguntó por carta a su amigo y famoso matemático Leonhard Euler si podía demostrar dos resultados muy sencillos sobre números. Por un lado, lo que hoy en día llamamos la conjetura de Goldbach, o conjetura fuerte de Goldbach, que dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 16 = 3 + 13, etc. Y por otro lado, una variante de este problema que hoy en día llamamos la conjetura débil de Goldbach, que afirma que todo todo número impar mayor que 5 puede escribir como suma de tres números primos. Por ejemplo, 7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 11 = 3 + 3 + 5, 35 = 19 + 13 + 3, o 77 = 53 + 13 + 11, etc. El matemático peruano Harald Andrés Helfgott ha publicado un trabajo en el que afirma haber demostrado la conjetura débil de Goldbach (o conjetura ternaria de Goldbach). Por supuesto, en estas noticias de matemáticas tenemos que ser cautos. La demostración ocupa 133 páginas y se basa en un trabajo previo de más de 100 páginas. La confirmación “oficial” todavía podría tardar un tiempo, pero varios expertos, como el famoso Terence Tao, que recibió la medalla Fields en el año 2006 en Madrid, afirman que la nueva demostración tiene muy buena pinta y casi seguro que es correcta.
Recomiendo leer a “(Parece ser que) Demostrada la conjetura débil de Goldbach,”Gaussianos.com, 14 mayo 2013. El artículo técnico para los matemáticos que deseen profundizar es H. A. Helfgott, “Major arcs for Goldbach’s theorem,” arXiv:1305.2897, 13 May 2013; creo que es recomendable leer antes H. A. Helfgott, “Minor arcs for Goldbach’s problem,” arXiv:1205.5252, 23 May 2013.
Este resultado matemático es muy fácil de enunciar. ¿Por qué ha costado 271 años demostrar esta conjetura? Muchos problemas matemáticos quedan sin resolver durante siglos. Incluso los griegos se plantearon preguntas que no fueron resueltas hasta el siglo XIX. Esto pasa con muchos resultados en la rama de las matemáticas llamada teoría de números. Son tan fáciles de enunciar que hasta un niño puede entenderlos, pero son extremadamente duros de demostrar. Los números primos son los números mayores que la unidad que no se pueden dividir por ningún otro número, salvo por ellos mismos y por el uno. Por ejemplo, el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. Lo importante de los números primos es que todos los demás números, llamados compuestos, se pueden descomponer en un producto de números primos. Por ejemplo, 12 es 3 por 2 por 2, o 33 es 3 por 11. Por ello, el estudio de los números primos es muy importante en la teoría de números, la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números enteros. Estudiar las propiedades de los números primos en multiplicaciones y divisiones es fácil, sin embargo, las propiedades de las sumas y restas de números primos son muy difíciles de estudiar. Las conjeturas de Goldbach nos hablan de la suma de números primos y por eso están entre los problemas más difíciles de la matemática actual. La demostración de la conjetura débil de Goldbach ha costado 271 años, pero para la conjetura fuerte no ha habido ningún progreso en el último siglo y es posible que no sea demostrada en el siglo XXI.
¿Nos podrías contar de forma sencilla cómo se ha demostrado este resultado? A finales del siglo XIX se desarrolló una rama de las matemáticas llamada teoría analítica de los números, que utiliza herramientas de análisis matemático para resolver problemas de teoría de números, en apariencia dos ramas matemáticas muy alejadas entre sí. El primer progreso hacia la demostración de la conjetura débil de Goldbach fue obtenido por los matemáticos británicos Hardy y Littlewood, en 1923, y por el matemático ruso Vinogradov, en 1937. Utilizaron el llamado “método del círculo” (basado en análisis de Fourier). Estas técnicas son parecidas a las que utiliza nuestro oído para descomponer el sonido de la música por ello el matemático británico y divulgador Marcus du Sautoy habla de “La música de los números primos.” El análisis de Fourier permite entender los números primos como notas musicales de una sinfonía matemática. La técnica matemática utilizada se llama teoría de cribas. En estas técnicas se “suavizan” las llamadas funciones L antes de usar el análisis de Fourier, algo así como cuando se usan filtros en una mesa de mezclas para mejorar el sonido de una canción en un estudio de grabación. El matemático peruano Helfgott ha utilizado una variante del método del círculo y la técnica llamada de “gran criba” desarrollada por el ruso Linnik en 1941 (una versión discreta de la identidad de Plancherel). Su trabajo técnico es muy complicado y ha utilizado un concepto técnico llamado arcos de cribas. En 2012 obtuvo resultado para los llamados arcos menores y ahora en 2013 lo ha extendido a arcos mayores, logrando finalmente la demostración de la conjetura de Goldbach. En la etapa final de la demostración también se ha requerido el uso de ordenadores.
¿Para qué ha utilizado ordenadores en su demostración matemática? El trabajo de Hardy, Littlewood y Vinográdov demostró que la conjetura débil de Goldbach era cierta para todos los números impares suficientemente grandes. La cuestión clave es entender qué significa “suficientemente grande.” El ruso Borodzin demostró en 1939 que bastaba tomar números más grandes que 3 elevado a 3 elevado a 15, es decir, 3 elevado a 14.348.907, un número que tiene más de seis millones de dígitos. Verificar la conjetura para números más pequeños es imposible porque es un número muy grande. Este número se ha ido reduciendo poco a poco y en 1989, dos chinos llamados Wang y Chen redujeron esta cota a 3,33 por 10 elevado a 43.000, y otros dos chinos llamados Liu y Wang a sólo 2 por 10 elevado a 1346 (el número e elevado a 3100). Aún así, un número con 1346 cifras es demasiado grande. Lo que ha logrado el matemático peruano afincado en Francia, Harald Helfgott, ha sido reducir esta cota mínima a sólo 10 elevado a 30. Esto ha permitido comprobar por ordenador la conjetura para todos los números más pequeños, trabajo en el que ha colaborado con David Platt.
La medalla Fields es el equivalente al premio Nobel de matemáticas. ¿Podría recibir este matemático peruano este prestigioso premio? En mi opinión, no sólo este nuevo trabajo, sino también sus contribuciones anteriores, hacen que El matemático peruano Harald Andrés Helfgott sea un firme candidato a recibir la medalla Fields el año que viene (2014) en Corea del Sur. Nunca ningún matemático latinoamericano, ni ningún español, ha obtenido la medalla Fields, aunque hay varios que han hecho méritos para recibirla. La Medalla Fields es concedida por la Unión Matemática Internacional y se instauró tras la Segunda Guerra Mundial porque no había Premio Nobel de matemáticas. Hay varias diferencias con el Premio Nobel, siendo la más importante que se concede cada 4 años y solamente a matemáticos jóvenes, cuya edad sea inferior a 40 años. Helfgott tiene 35 años por tanto, si no recibe la medalla Fields en 2014 ya no la podrá recibir nunca. Helfgott hizo su tesis doctoral en EEUU (en la Universidad Princeton), ha recibido muchos premios y trabaja como investigador en el CNRS (el Centro Nacional para la Investigación Científica) en París, Francia, el equivalente francés al CSIC español.
¿Se revolverá pronto la conjetura fuerte de Goldbach? Se trata de un resultado mucho más difícil. Se necesitará un cambio completo de enfoque. No ha habido progresos importantes en esta conjetura en el último siglo, por lo que se puede decir sin miedo a erro que quizás no sea resuelto en el siglo XXI.
Fuentes en este blog
La conjetura de Goldbach.
La Conjetura débil (o ternaria) de Goldbach.
EL MAT3MÁTICO IMPAR. Entrevista a Harald Helfgott.
La Conjetura de Collatz.
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