Encontré una colección de demostraciones matemáticas, sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, que al momento de editarla, la relectura de la apología de Hardy es inevitable en este momento:
"La reducción al absurdo, que Euclides tanto venerara, es una de las armas más finas del matemático. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida entera..."
Teorema: La raíz de 2 es irracional.
Sean m y n dos números enteros cualesquiera. Trabajando módulo 3 podemos verificar fácilmente que la expresión m2 + n2 es divisible entre 3 si y sólo si tanto m como n son divisibles entre 3.
Supongamos entonces que √2 es racional y que √2 = a/b donde a y b son números enteros y coprimos. Al elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad anterior se obtiene que 2 = a2/b2, de donde se sigue que a2 = 2b2. Si sumamos b2 en ambos miembros de la igualdad previa se llega a que a2 + b2 = 3b2. Esto indica que la expresión a2 + b2 es divisible entre 3; la observación hecha en el párrafo anterior nos permite concluir entonces que 3 es divisor común de a y b.
Esto contradice el supuesto de que a y b no tenían divisores en común mayores que 1 y la demostración concluye.
(Esta demostración la contribuyó el profesor argentino Enzo Gentile a la Mathematics Magazinehace muchos años.)
Para conocer otras 27 pruebas aquí. Ver.
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