Gauss inicia sus investigaciones sobre teoría de números durante su estancia en el Collegium Carolinum, en 1795. Pero acomete la elaboración de las Disquisitiones a lo largo de su estancia en la Universidad de Göttingen entre 1795 y 1798. Lo sabemos gracias a su diario científico en el que ya en 1796 aparecen dos de sus resultados más brillantes: la descomposición de todo número entero en tres triangulares y la construcción del heptadecágono regular. Ambos recogidos en las Disquisitiones.
A finales de 1798 Gauss entregará el manuscrito a un editor de Leipzig, pero dificultades económicas retrasarán la publicación hasta el verano de 1801
Con las Disquisitiones, Gauss da una nueva orientación a la Teoría de Números, dejando de ser ésta una acumulación de resultados anecdóticos aislados para convertirse en una rama de las matemáticas tan importante como el análisis o la geometría
En el prefacio, Gauss explica el contenido de esta obra, advirtiendo que tratará sobre los números enteros, excluyendo a menudo los fraccionarios y siempre a los irracionales, los sordos como se les conocía hasta entonces. Su discurso tratará no de los temas de numerar y calcular, de los que se dedica la Aritmética elemental, sino de los aspectos propios de los números enteros de los que se ocupa la Aritmética Superior. En él afirma que en esa época desconocía muchos de los resultados contemporáneos:
“desconocía todas las que habían sido elaboradas por los más modernos en este campo y estaba privado de todos los recursos mediante los cuales habría podido ayudarme un poco en estas cuestiones”.
Las Disquisitiones están organizadas en siete secciones:
1. Números congruentes en general
2. Congruencias de primer grado
3. Residuos de potencias
4. Congruencias de segundo grado
5. Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado
6. Aplicaciones de las nociones anteriores
7. Ecuaciones de las secciones de un círculo.
Un gran descubrimiento, una conquista revolucionaria de notación aritmética: las congruencias
Dados dos números enteros a y b si su diferencia (a - b ó b - a) es exactamente divisible por el número m, decimos que a, b son congruentes respecto al módulo m , y simbolizamos esto escribiendo a ≡ b (mód m). Así, 100 ≡ 2 (mód 7), 35 ≡ 2(mód 11).
La ventaja de esta notación es que recuerda la forma en que escribimos las ecuaciones algebraicas, trata la divisibilidad aritmética con una breve notación y permite "sumar, restar, multiplicar… congruencias", con tal de que el módulo sea el mismo en todas, para obtener otras congruencias. Y permite estudiar ecuaciones con congruencias: ax + b ≡ c (mód m)
Como colofón a las dos primeras secciones Gauss aplica estos métodos a problemas históricos como el de dado un número A determinar la cantidad de números primos con A y menores que él. ¿Se trata de la célebre función? (A) introducida por Euler. Dando una fórmula general para su cálculo: Si A = a m b n c p... siendo a, b, c, ... primos,
ƒ(A) = 
Y termina con la demostración del teorema fundamental de las congruencias polinómicas . Una congruencia de grado m, Ax^m+ Bx^(m-1)+ ... +Mx + N≡0 (mod p) cuyo módulo p es primo que no divide a A, no puede resolverse de más de m maneras diferentes o no puede tener más de m raíces no congruentes con relación a p.
En la secciones 3ª y 4º Gauss aborda los residuos cuadráticos y de potencias superiores. Dados r y m números enteros donde r no es divisible por m, si existe un número x tal que x^2 ≡ r (mód m), decimos que r es un residuo cuadrático de m, en caso contrario decimos que r es un no-residuo cuadrático de m.
Por ejemplo: 13 es residuo cuadrático de 17, pues la ecuación x^2 ≡ 13 (mód 17) tiene soluciones x = 8, 25, 42
Demuestra Art. 49 y 50 el Pequeño Teorema de Fermat:
Si p es un número primo que no divide a a, a p -1 – 1 es siempre divisible por p.
Y el de Wilson:
El producto de todos los números menores que un número primo dado, aumentado en una unidad es siempre divisible por dicho número
En la sección 4ª Gauss nos proporciona la primera demostración de la ley de reciprocidad cuadrática, a la que denomina Theorema aureum. Art. 131 y siguientes:
Si p es primo de la forma 4n + 1, +p será un residuo o un no-residuo de todo primo que tomado positivamente sea un residuo o un no residuo de p. Si p es de la forma 4n + 3, -p tiene la misma propiedad.
En un lenguaje más asequible, existe una reciprocidad entre el par de congruencias x^2 ≡ (mód p),
x^2 ≡ p (mód q) en la que tanto p como q son primos; ambas congruencias son posibles o ambas son imposibles, a no ser que tanto p como q den el resto 3 cuando se dividen por cuatro, en cuyo caso una de las congruencias es posible y la otra no.
Gauss contaba con esta demostración desde 1796, a los 19 años. Euler y Legendre lo habían intentado sin éxito como muy bien comenta el propio Gauss en el art. 151. Sólo por esta demostración Gauss ya debería ser considerado como uno de los matemáticos más potentes de la época. Pero habría más, dentro de la misma obra.
Las secciones 6ª y 7ª tratan de las formas cuadráticas y sus aplicaciones.
Un número entero M puede representarse mediante la expresión ax^2 + 2bxy + cy^2 = M, donde a, b, c, x e y son números enteros.
A la expresión F = ax^2 + 2bxy + cy^2 Euler la denominó forma cuadrática.
Euler ya había utilizado las formas cuadráticas para abordar problemas de números enteros. El problema directo consiste en determinar todos los enteros M que se pueden representar por una forma dada. El inverso, y más interesante, consiste en dados M y a, b y c, encontrar los valores de x e y que representan a M.
Para Gauss el objetivo del estudio de formas es demostrar teoremas de teoría de números. Y a lo largo de la sección nos irá proporcionando unas cuantas joyas, algunas de ellas de incalculable valor. Una de ellas le hizo escribir el 16 de julio de 1796, en su diario, una de sus pocas manifestaciones de júbilo. (Ver imagen al final)
La alegría estaba más que justificada. El joven Gauss acababa de resolver uno de los retos del viejo Fermat. Y no un reto cualquiera; hasta el gran Euler se había estrellado con él. Esta vez Gauss iba a ser el primero en la historia en proporcionar la respuesta a uno de los innumerables enigmas de Fermat:
La alegría estaba más que justificada. El joven Gauss acababa de resolver uno de los retos del viejo Fermat. Y no un reto cualquiera; hasta el gran Euler se había estrellado con él. Esta vez Gauss iba a ser el primero en la historia en proporcionar la respuesta a uno de los innumerables enigmas de Fermat:
Todo número entero positivo se puede escribir como suma de tres números triangulares
La demostración de este resultado aparece en el art. 293 y es una consecuencia del estudio que Gauss realiza de las formas ternarias.
Sección 7ª. De las ecuaciones que definen las secciones del círculo
¿Qué tienen que ver las funciones que dependen del círculo, tan en boga a finales del siglo XVIII, como afirma el propio Gauss en el artículo de introducción de esta sección, con la aritmética superior, con la teoría de números?
El joven Gauss no se resiste a la tentación de incluir una sección que contenga su primer resultado estrella, aquel que en bifurcación vital del Collegium le inclinó a decantar su vida por el camino de las matemáticas en detrimento de las lenguas clásicas: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Aunque en apariencia este resultado tenga más que ver con la geometría o con el análisis que con la aritmética de números enteros.
Gauss va a dejar para su último artículo, el 366, un resultado que permite decidir los polígonos regulares construibles con regla y compás:
[Para poder seccionar geométricamente el círculo en N partes iguales]... se requiere que N no contenga ningún factor primo impar que no sea de la forma 2m +1, ni tampoco ningún factor primo de la forma 2m +1 más de una vez. De esta forma, se encuentran los 38 valores de N menores que 300:
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272.
En aquel verano de 1801 Gauss había entrado con todos los honores en el parnaso de los genios matemáticos. A partir de este momento, y como vaticinara Bolyai a su madre en Brunswick, hacía sólo unos pocos años, Gauss se había convertido en el matemático más grande de Europa.
Anotación en el caótico cuaderno personal de #Gauss (10 de julio 1796). En ellas se lee: "¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ" ¿Qué descubrió?
Posted by James Tesen Garay on mercredi 9 juillet 2014
Fuentes recomendadas en este blog
Disquisitiones Arithmeticae (versión española).
Biografía de Carl F. Gauss.
Otras fuentes que le pueden interesar
Citas: Princeps mathematicorum. (Alexander von Humbolt).
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